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Nombres complexes
Posté par Joraniko
Bonsoir.
J ai un problème sur cet exercice
Z1 et Z2 sont deux nombres complexes non nuls tel que |Z1 + Z2|=|Z1- Z2|.
Montrer que Z1/Z2 est imaginaire pur
Bonsoir Joraniko.
Voici un petit argumentaire géométrique pour résoudre ce problème.
En lieu et place de Z1 et Z2, je vais utiliser a et b.
On a donc et par suite,
, ce qui signifie que la distance de
à
est la même que la distance de
à
.
Par conséquent, est sur la droite médiatrice du segment
.
Donc, soit est sur une droite linéaire d'équation
, soit
est imaginaire pur.
Je traite ici uniquement le cas où n'est pas imaginaire pur et je te laisse traiter l'autre cas.
Et donc il existe tel que
.
Par ailleurs, la droite passant par les points d'affixe b et -b est perpendiculaire à la droite linéaire introduite ci-dessus.
Donc, est sur la droite linéaire d'équation
Et donc il existe tel que
On calcule alors
Bonsoir à vous deux.
Je propose moi une méthode :
L'hypothèse importante est : |Z1 + Z2|=|Z1- Z2|
Posons d'abord Z = Z1/Z2 = a/b (selon l'écriture de jsvdb)
Montrer que ce nombre Z est un imaginaire pur <=> Z+ conjugué(Z) = 0
Ensuite bien sûr il faut donc calculer Z et utiliser l'hypothèse.
Bon courage
Oui, il suffit d'écrire que .
Et d'écrire que :
Puis développer, réduire, écrire l'égalité et ça vient tout seul.
Merci à tous...
Ça sort clairement maintenant...
Avec la condition pour être imaginaire pure( Comme maxmaths65 l'a montré), et avec le dernier développement de jsvbd, on tombe à un même résultat final de quoi conclure l'équivalence des deux raisonnements.
Merci 🙏
Bonjour,
Autrement dit:
Si les deux diagonales d'un parallélogramme sont égales, alors c'est un rectangle.
La réciproque est vraie.