Bonsoir, j'ai un dm de math mais je ne vois pas du tout comment le résoudre?
Pourriez-vous m'aidez ?
Exercice 1 1. On considère l'équation(E) (1 + iz)ˆ5= (1 − iz)ˆ5 d'inconnue z ∈ C.

(a) Soit θ ∈ R tel que eˆ(2iθ)différent 1. Montrer que eˆ(2iθ) − 1/eˆ(2iθ) + 1= i tan(θ).

(b) Montrer que z vérie (E) si et seulement si 1+iz/1−iz∈ U5. En déduire les solutions
complexes de (E) à l'aide de la fonction tan.

(c) Développer (1 + iz)ˆ5 et (1 − iz)ˆ5.  En déduire que z est solution de (E) si et seulement si 10iz − 20izˆ3 + 2izˆ5 = 0. Donner alors les solutions de (E) sous une autre forme.

(d) En utilisant le sens de variation de la fonction tan sur ] − π/2, π/2[, déterminer les
valeurs de tan(π/5) et de tan(2π/5).

2. On se donne maintenant α ∈] − π/2, π/2[ et on considère l'équation (Eα)                                 (1 + iz)ˆ5(1 − i tan(α)) = (1 − iz)ˆ5(1 + i tan(α)) d'inconnue z ∈ C.

(a) Montrer que 1 + i tan(α)/1 − i tan(α)= eˆ2iα

(b) Résoudre l'équation Zˆ5 = eˆ2iα d'inconnue Z ∈ C.

(c) En déduire les solutions de (Eα) que l'on exprimera à l'aide de la fonction tan.


Merci d'avance