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Niveau Maths sup
Nombres complexes
Posté par Kekeee
Bonjour tout le monde, j'ai encore un exercice qui me donne du fil à retordre..
Le voilà:
1. Résoudre l'équation:
(z2-4z+5)+i(z+1)=0
d'inconnue z
2. En déduire les solutions de l'équation:
(z2-4z+5)2+(z+1)2=0
d'inconnue z
3. En déduire quatres réels a,b,c,d tels que pour tout x
:
(x2-4x+5)2+(x+)2=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
Voilà ce que j'ai fait:
1. Soit z
z2-4z+5+i(z+1)=0
ssi (z-2)2+1+i(z+1)=0
ssi (z-2-i)(z-2+i)+i(z+1)=0
ssi (z=2+i ou z=2-i) et z=-1
Ce qui n'est pas possible donc l'équation n'a pas de solution dans , je pense sincèrement m'être trompé mais je ne vois pas où..
2. Comme l'équation à la question 1 n'a pas de solution alors l'equation:
(z2-4z+5)=-i(z+1) n'a pas de solution
Alors,
(z2-4z+5)2=-(z+1)2 n'a pas de solution
3. J'ai essayé de faire par identification en développant chaque membre mais je n'aboutis pas..
Je pense vraiment m'être trompé sur cet exo.. merci pour votre aide
bonjour,
Citation :
ssi (z-2-i)(z-2+i)+i(z+1)=0
ssi (z=2+i ou z=2-i) et z=-1
???
ssi (z-2-i)(z-2+i)+i(z+1)=0
ssi (z=2+i ou z=2-i) et z=-1
Depuis quand une somme est nulle si chaque terme de la somme est nul !!
Bonjour,
Vous pouvez trouver les solutions de l'équation de la 1ère question avec la méthode pour résoudre les équations du second degré (sauf qu'ici, elle est complexe mais ça ne change rien). C'est ce que je viens d'effectuer, c'est faisable assez facilement.
Cordialement,
BonjourDOMOREA oui je me suis trompé en pensant séparer partie réelle de la partie imaginaire, mais j'ai une expression avec du i dans chaque terme.. donc pas de partie réelle
Merci pour ce gentil coup de pouce,
Je trouve bien deux racines pour l'équation de la question 1 qui sont:
1+i et 3-2i
Oups pardon..
Pour le deuxième facteur, on connait les racines avec la question 1, et j'imagine que les racines du premier facteur vont être les conjuguées des racines du deuxième.
C'est ça?
C'est ça mais il faut le prouver proprement :
On passe au conjugué :
Autrement dit, est solution de l'équation de départ au 1).
et les solutions de la seconde équation sont donc les conjugués des solutions de la première.
Tu peux réfléchir à 3) 
Ah le passage à l'inverse c'est sûr que c'est bien plus propre!
3) Je peux peut-être écrire que d'après la question l'équation peut s'écrire en factorisant par les racines pour avoir un produit mais je ne sais pas si cela va m'avancer à grand chose.. car dans la question 3, tout est réel..
3) Voyons :
d'après 1) et 2) :
avec
Tu développes les deux premiers termes et les deux derniers.
Tu obtiens quoi ?
Oui (avec une petite erreur : 13 pas 12). Tu as vaillamment factorisé un polynôme de degré 4 en 2 polynômes de degré 2 sur le corps des réels :
Tout ceci à l'aide des nombres complexes.
Ouaw! Donc je peux remplacer mes z complexes par des x réels dans mon égalité comme ça?
Vous avez été formidablement claire et précis, c'est en grande partie grâce à vous lake!
Oui, tu peux remplacer : aucun complexe ne figure dans les coefficients des polynômes de l'égalité.
Cette égalité est vraie sur l'ensemble des réels.
D'accord, super! Merci beaucoup pour votre aide lake.
Je vais ouvrir un autre topic pour un autre exercice, je serais ravi de vous avoir de nouveau à mes côtés!