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nombres complexes besoin d aide

Posté par houp (invité) 29-12-04 à 15:22

bonjour, j'aimerai vraiment avoir de l'aide pour cet exercice svp.je vous remercie d'avance pour votre aide.
voici l'exercice:

On considère le nombre complexe a=e^(2i/5)
1° On note I, A, B, C, D les points du plan complexe d'affixes 1, a, a², a^3, a^4.
Vérifier que, a^5=1 et montrer que IA=AB=BC=CD=DI, et démontrer que tous ces points se situent sur le cercle C de centre O et de rayon 1.  
(ici j'aimerai beaucoup avoir des indications et tt , sur comment procéder)

2°a° vérifier que pour tout nombre complexe z :
z^5 -1=(z-1)(1+z+z²+z^3+z^4) et en déduire alors que:
1+a+a²+a^3+a^4=0

b° Montrer que a^3=a (barre)² et que a^4=a(barre)
En déduire que (a+a(barre))²+(a+a(barre))-1=0

c° Résoudre l'équation 4x² +2x-1=0 (ca je sais faire !!)
En déduire, à partir de 2°, la valeur excate de cos(2/5)

voila merci beaucoup de m'aider, car je comprends pas trop et c'est pour bientot

Posté par houp (invité)svp 29-12-04 à 18:15

svp aidez moi c'est important et j'y arrive pas

Posté par houp (invité)svp 29-12-04 à 21:09

y'a t'il qqun qui peut m'aider???
svp, c'est un DM de maths que j'arrive pas et c'est pour la rentré.
dites moi au moins comment faire

Posté par
ma_corre : les nombres complexes 29-12-04 à 21:19

Bonsoir houp.
Ce topic est presque déjà résolu, mais je ne sais plus où.  Cherche et dis-moi si tu l'as trouvé.  Si pas, je t'aiderai. Mais il faut que tu m'indiques ce que tu as déjà résolu.

Posté par houp (invité)pas trouver 30-12-04 à 14:07

j'ai cherché mais je n'ai pas trouvé.
j'ai commencé l'exo mais je suis vite paumé.
1° vérifier que a^5=1, j'ai pris le nb complexe a et je l'ai élevé à la puissance 5, ce qui me donne e^(2ipi), ce qui correspond bien au 1,sur le cercle trigo.

pour montrer que IA=AB=BC=CD=DI, j'ai plus de mal, j'ai pris la formule AB=valeur absolue de zb-za.
Or, lorsque j'appilque cette formule pour chacun, j'obtiens : IA=a-1; AB=a²-a; BC=a^3-a²; CD=a^4-a^3
et DI=1-a^4.
La deja, j'ai besoin d'aide.Et pour après, je vois pas trop comment faire pour démontrer que tous les points sont bien sur le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1; parce que le prof nous a dit de ne pas placer les points.
voila deja.
merci beaucoup pour votre aide

Posté par houp (invité)suite 30-12-04 à 16:26

voila aussi ce que j'ai trouvé
alors pour montrer que IA=AB=BC=CD=DI, j'ai traduit les écritures a²-a ...et a la fin je trouve pourt ous que ca fait e^(2i/5).
juste une question est ce que -e(i8/5)=
e^(i2/5) ??

2°a° ensuite pour démontrer que z^5-1=...
et ben j'ai développé la partie de droite et je retombe sur la partie de gauche.
pour le en deuire que (1+z+z²+z^3+z^4)=0, et ben j'ai dit que a^5=1 et que dc a^5-1=0, et que
(1+a+a²+a^3+a^4)(1+z+z²+z^3+z^4), est ce que l'équivalence est correcte?
j'ai le droit d'y écrire?

b° j'ai fait un produit en croix et pour les deux j'obtiens bien a^5=1
pour le en déduire j'ai tout développé etje retombe sur  1+a+a²+a^3+a^4 ce qui fait bien 0

c° resoudre l'équation: je trouve x1=(-1-5)/4 et x2=(-1+5)/4
mais j'arrive pas a deduire la valeur de cos 2pi/5

merci de votre aide

Posté par houp (invité)alors 30-12-04 à 17:59

alors?mes résultats sont justes ou pas?comment résoudre la toute dernière question?
merci beaucoup

Posté par
ma_corre 31-12-04 à 15:14

Tu as trouvé les bons éléments.  Toutefois, ce sont les modules qu'il faut prendre pour calculer les distances IA=AB=BC=CD=DI en tenant compte que a^5-1=(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)=0. Puisque a1, alors a^4+a^3+a^2+a+1=0a^3+a^2+a+1=-a^4.
En second lieu, e^{\frac{2i\pi}{5}}e^{\frac{4i\pi}{5}}e^{\frac{6i\pi}{5}}e^{\frac{8i\pi}{5}}

Posté par
ma_corre 31-12-04 à 16:06

Tu as aussi a^3=(e^{\frac{2i\pi}{5}})^3=e^{\frac{6i\pi}{5}}=e^{\frac{-4i\pi}{5}}=(\bar{a})^2
Tu fais de même avec a4.
Ainsi, tu obtiens (a+\bar{a})^2+(a+\bar{a})-1=a^4+a^3+a^2+a+1=0
Ensuite tu trouves les solutions de l'équation 4x2+2x-1=0.
En comparant avec le point au dessus, tu constates que si 2x=a+\bar{a}, alors l'équation celle donnée. Donc, x=\frac{a+\bar{a}}{2} est solution. Or \frac{a+\bar{a}}{2}=Re(a)=cos(\frac{2\pi}{5}).  Tu en déduis alors que le cosinus est une des deux solutions que tu as trouvées. Mais \frac{2\pi}{5} est un angle du second quadrant, son cosinus est alors négatif, ce qui correspond à x=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}=cos(\frac{2\pi}{5})

Posté par houp (invité)encore une petite question 31-12-04 à 23:57

deja, merci de m'aider c'est super sympa.
toutefois, je n'ai pas bien compri pour la méthode de calcul des distances.tu utilises la relation a^5-1=(a-1)(a^4+a^3+a²+a+1)=0, alors que l'on a montrer cette relation ds des questions après.dc c'est bien que pour le calcul des distance il faut utilise autre chose non?
voila.et sinon, la méthode que j'avais fait est fausse?
merci beaucoup

Posté par houp (invité)et aussi 01-01-05 à 00:00

comment on sait que a1???
merci bcp

Posté par houp (invité)dsl 01-01-05 à 00:17

oublies ma question précédente !!!!!
mais j'en ai une autre pour la remplacer, pourrais tu m'expliquer ceci:

"Tu fais de même avec a4."
Ainsi, tu obtiens
(a+a(bar) )²+(a+a(bar)-1=a^4+a^3+a²+a+1=0

j'ai pas bien compris comment déduire la relation a la fin, merci beaucoup

Posté par houp (invité)svp 02-01-05 à 13:19

merci de répondre à mes dernières questions après jvous laisse souffler.
merci d'avance


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