Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Reprise d'études [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Reprise d'études
Partager :

Nombres complexes - équation avec arguments

Posté par
Autodidacte33 31-10-21 à 15:46

Bonjour,

J'ai réussi à faire l'exercice suivant mais je reviens vers vous pour être sûr de l'avoir bien résolu, je n'ai pas trouvé similaire sur le net et étant autodidacte, je n'ai pas de prof à qui je peux demander :

Exercice :

Résoudre dans \mathbb{C} \text{ : } 2\text{ arg}(z+i)\equiv \text{arg}(z)+\text{arg} (i) \text{ } [2\pi}]


Voici ce que j'ai fait :

2\text{ arg}(z+i)\equiv \text{arg}(z)+\text{arg} (i) \text{ } [2\pi}] \iff  \text{ arg}(z+i)^2\equiv \text{arg} (iz) \text{ } [2\pi}] \iff (z+i)^2=\alpha (iz) \text{ tel que } \alpha \in\mathbb{R}^{+}

Ensuite résoudre l'équation suivant les valeurs du paramètre \alpha.

Est-ce correcte? Et n'y a-t-il pas de méthode plus élégante pour résoudre cette équation?

Je vous remercie d'avance

Posté par
lakere : Nombres complexes - équation avec arguments 31-10-21 à 15:59

Bonjour,

C'est correct.

Ensuite pour z\not=0 et z\not=-i, il suffit d'écrire que \dfrac{(z+i)^2} {iz} est réel (donc égal à son conjugué).                                                        '

Posté par
lakere : Nombres complexes - équation avec arguments 31-10-21 à 16:05

... qui nécessitera une réciproque

Posté par
Autodidacte33re : Nombres complexes - équation avec arguments 01-11-21 à 01:29

Salut lake,

Merci pour la piste :

\begin{array}{cl}2\text{ arg}(z+i)\equiv \text{arg}(z)+\text{arg} (i) \text{ } [2\pi}] &\iff  \text{ arg}(z+i)^2\equiv \text{arg} (iz) \text{ } [2\pi}] \\\\&\iff (z+i)^2=\alpha (iz) \text{ tel que } \alpha \in\mathbb{R}^{+}\\\\&\iff  \dfrac{(z+i)^2}{iz}=\overline{\left(\dfrac{ (z+i)^2}{iz}\right)}\text{ avec } z\neq 0\\\\&\iff  \dfrac{(z+i)^2}{iz}=\dfrac{(\overline{z}-i)^2}{-i\overline{z}}  \text{ avec } z\neq 0 \\\\&\iff -\overline{z}(z+i)^2=z(\overline{z}-i)^2   \text{ avec } z\neq 0  \\\\&\iff -\overline{z}(z^2+2iz-1)=z(\overline{z}^2-2i\overline{z}-1)   \text{ avec } z\neq 0 \\\\&\iff -z\overline{z}(z+\overline{z})+z+\overline{z}=0   \text{ avec } z\neq 0  \\\\&\iff (z+\overline{z})(1-|z|^2)=0\text{ avec } z\neq 0 \\\\&\iff z=-\overline{z}\text{ ou }|z|=1\text{ avec } z\neq 0\\\\&\iff \boxed{S=i\mathbb{R}^{*} \cup \mathbb{U} }\end{array}

Par contre, je ne vois pas pourquoi il n'y a pas réciproque. Pouvez-vous m'expliquer d'avantage, merci bien!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes - équation avec arguments 01-11-21 à 07:55

Bonjour,
Je me permets, en l'absence de lake d'expliquer pourquoi il faut faire une réciproque.

Citation :
il suffit d'écrire que \dfrac{(z+i)^2} {iz} est réel
On traduit ainsi \alpha \in\mathbb{R} alors qu'on veut \alpha \in\mathbb{R}_+.

Posté par
carpediemre : Nombres complexes - équation avec arguments 01-11-21 à 10:25

salut

si je peux me permettre ...

un bel effort de rédaction ... qui plus est en latex !

une seule chose : mets plutôt un et qu'un avec car et est un objet du langage mathématique

tu peux aussi dès le départ te "débarrasser" de 0 en précisant quelque chose du genre : 0 n'est pas (ou est si tel avait été le cas) solution de l'équation ... dans la suite on suppose z 0

ce qui évite de se trainer cette condition que tu as très bien écrite à toutes les étapes

en particulier avec cette rédaction tu aurait pu poursuivre ton équation initiale ainsi :

2\text{ arg}(z+i)\equiv \text{arg}(z)+\text{arg} (i) \text{ } [2\pi}] \iff \text{ arg}(z+i)^2\equiv \text{arg} (iz) \text{ } [2\pi}] \iff arg \left( \dfrac {(z + i)^2} {iz} \right) \equiv 0  [2\pi] \iff \dfrac {(z + i)^2} {iz} \in \R^+ {\red \Longrightarrow } \dfrac{(z+i)^2}{iz}=\overline{\left(\dfrac{ (z+i)^2}{iz}\right)} \iff  ...

en rouge tu as alors le point crucial qui montre pourquoi il faut faire une réciproque !!
et ut t'évites d'introduire un réel alpha dont tu n'as pas besoin ...

Posté par
lakere : Nombres complexes - équation avec arguments 01-11-21 à 11:39

Bonjour,

Je rajoute à ce qui a été écrit :

  Tu as bien vu qu'on doit avoir z\not=0 mais pour de "mauvaises" raisons : le z au dénominateur.

Dès le départ on des arg(z) et des arg(z+i).
Le complexe nul n'a pas d'argument donc non seulement on doit considérer que z\not=0 mais aussi z\not=-i qui seront éventuellement à exclure des ensembles trouvés.

Posté par
Autodidacte33re : Nombres complexes - équation avec arguments 02-11-21 à 20:45

Salut,

Je vous remercie pour vos contributions
Je vois maintenant pourquoi il n'y a pas équivalence, car si on a z=\overline{z}, alors z est réel mais pas nécessairement positif.

Pour éviter de reprendre ce qui a été rédigé ci-dessus, on a jusqu'à présent trouvé que :

Citation :
Puisque 0 n'a pas d'argument, alors 0 et -i ne sont pas solutions de l'équation, dans la suite on suppose

z\neq 0\text{ et } z\neq -i

On a:

\begin{array}{cl}2\text{ arg}(z+i)\equiv \text{arg}(z)+\text{arg} (i) \text{ } [2\pi}] &\iff  \dfrac{(z+i)^2} {iz} \in\mathbb{R}^{+}\\\\&\Longrightarrow  \dfrac{(z+i)^2}{iz}=\overline{\left(\dfrac{ (z+i)^2}{iz}\right)}\\\\&\iff S=\left(i\mathbb{R}^{*} \backslash\lbrace -i\rbrace\right) \cup \mathbb{U} \end{array}


La réciproque :

\bullet Soit z\in i\mathbb{R}^{*} \backslash\lbrace -i\rbrace , alors z=iy \text{ avec } y\in\mathbb{R}^{*}\backslash \lbrace{-1\rbrace}

On a : \dfrac{(z+i)^2} {iz} = \dfrac{(iy+i)^2} {-y} = \dfrac{(y+1)^2} {y}

Alors \dfrac{(z+i)^2} {iz}\in\mathbb{R}^{+} ssi   y\in\mathbb{R}^{*+}  



\bullet Soit z\in \mathbb{U}, alors z=e^{i\theta} \text{ tel que } \theta\in\mathbb{R}

On a:
\begin{array}{cl} \dfrac{(z+i)^2} {iz} &= \dfrac{(e^{i\theta}+i)^2} {ie^{i\theta}} \\\\&= \dfrac{e^{2i\theta}+2ie^{i\theta}-1} {ie^{i\theta}} \\\\&=-ie^{i\theta}+2+ie^{-i\theta} \\\\&= 2-i(e^{i\theta}-e^{-i\theta})\\\\&=2+2\left(\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)\\\\&=2(1+\sin \theta)\\\\&\geq 0 \text{ ( En effet, } \forall \theta \in\mathbb{R} \text{ : } \sin\theta \geq -1 \text{ )}\end{array}

On conclut que : \boxed{ S= i\mathbb{R}^{*+} \cup \mathbb{U} }



J'espère que je n'ai pas dit de bêtises...
Merci de me vérifier

Posté par
lakere : Nombres complexes - équation avec arguments 02-11-21 à 21:24

Bonsoir,

C'est globalement correct. Tu as juste oublié un petit détail :

  

Citation :
On conclut que : \boxed{ S= i\mathbb{R}^{*+} \cup \mathbb{U} }



Le cercle unité \mathbb{U} est privé du point d'affixe -i (qui lui appartient!).

Posté par
Autodidacte33re : Nombres complexes - équation avec arguments 02-11-21 à 21:35

Ah mince. oui bien évidemment S= i\mathbb{R}^{*+}\cup \mathbb{U}\backslash\lbrace{-i\rbrace}

Merci beaucoup!

Posté par
lakere : Nombres complexes - équation avec arguments 02-11-21 à 21:37

Posté par
lakere : Nombres complexes - équation avec arguments 02-11-21 à 22:01

Des petits commentaires si tu repasses par ici :

  

Citation :
Puisque 0 n'a pas d'argument, alors 0 et -i ne sont pas solutions de l'équation, dans la suite on suppose

z\neq 0\text{ et } z\neq -i

On a:

\begin{array}{cl}2\text{ arg}(z+i)\equiv \text{arg}(z)+\text{arg} (i) \text{ } [2\pi}] &\iff  \dfrac{(z+i)^2} {iz} \in\mathbb{R}^{+}\\\\&\Longrightarrow  \dfrac{(z+i)^2}{iz}=\overline{\left(\dfrac{ (z+i)^2}{iz}\right)}\\\\&\iff S=\left(i\mathbb{R}^{*} \backslash\lbrace -i\rbrace\right) \cup \mathbb{U} \end{array}


Dans une suite d'assertions logiques, si on a ne serait-ce qu'une implication, il vaut mieux n'utiliser que des implications et éviter les équivalences.

Equivalences qu'on écrit assez vite à tort et dont il faut se méfier :

Citation :
\begin{array}{cl}2\text{ arg}(z+i)\equiv \text{arg}(z)+\text{arg} (i) \text{ } [2\pi}] &\iff  \text{ arg}(z+i)^2\equiv \text{arg} (iz) \text{ } [2\pi}] \\\\&\iff (z+i)^2=\alpha (iz) \text{ tel que } \alpha \in\mathbb{R}^{+}\\\\&\iff  \dfrac{(z+i)^2}{iz}=\overline{\left(\dfrac{ (z+i)^2}{iz}\right)}\text{ avec } z\neq 0\\\\&\iff  \dfrac{(z+i)^2}{iz}=\dfrac{(\overline{z}-i)^2}{-i\overline{z}}  \text{ avec } z\neq 0 \\\\&\iff -\overline{z}(z+i)^2=z(\overline{z}-i)^2   \text{ avec } z\neq 0  \\\\&\iff -\overline{z}(z^2+2iz-1)=z(\overline{z}^2-2i\overline{z}-1)   \text{ avec } z\neq 0 \\\\&\iff -z\overline{z}(z+\overline{z})+z+\overline{z}=0   \text{ avec } z\neq 0  \\\\&\iff (z+\overline{z})(1-|z|^2)=0\text{ avec } z\neq 0 \\\\&\iff z=-\overline{z}\text{ ou }|z|=1\text{ avec } z\neq 0\\\\&\iff \boxed{S=i\mathbb{R}^{*} \cup \mathbb{U} }\end{array}


L'équivalence de la troisième ligne est fausse, fiche tout par terre  (je pense que tu vois maintenant pourquoi) et t'a induit en erreur quant à la réciproque nécessaire.


  

Posté par
carpediemre : Nombres complexes - équation avec arguments 02-11-21 à 22:24

on peut mélanger équivalence et implication ... mais il faut être extrêmement rigoureux et certain à chaque étape de savoir si on peu revenir ou non ...

par contre ce qui importe c'est de ne pas mélanger des implications dans un sens et d'autres dans l'autre ... là oui c'est foireux !!!

mais dans le doute on fait un sens puis l'autre ...

et dans la négative une réciproque s'imposera alors ...

PS : et merci à lake pour sa remarque et précision sur les valeurs interdites (je ne voulais pas intervenir avant pour laisser ton msg en dernier donc je le fais maintenant)

Posté par
lakere : Nombres complexes - équation avec arguments 02-11-21 à 22:36

Citation :
on peut mélanger équivalence et implication ...


C'est ton habitude carpediem.
Didactiquement et pédagogiquement, je la trouve déplorable.

Posté par
carpediemre : Nombres complexes - équation avec arguments 02-11-21 à 23:50

et pourtant mon prof (qui enseignait quasi exclusivement en TC) ne s'en est jamais privé ni de nous l'enseigner ... tout comme par exemple de toujours commencer par l'hérédité (qui est l'essence du raisonnement par récurrence et l'activité mathématique par excellence) avant l'initialisation (qui n'est qu'une broutille calculatoire) ...

et bien au contraire elle est didactiquement et pédagogiquement fort utile pour bien comprendre ce qu'est un raisonnement ... du pont de vu de la logique ...

il est vrai qu'on ne fait plus de logique ... c'est d'ailleurs pourquoi la plupart des étudiants ne comprennent pas ce type de raisonnement ...

encore faut-il pouvoir le comprendre ... mais comme le dit Hannah Arendt quand les mots ont perdu leur signification il est difficile de comprendre quoi que ce soit ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes - équation avec arguments 03-11-21 à 07:59

Personnellement, mélanger implications et équivalences m'a toujours choqué.
Être un prof "qui enseignait quasi exclusivement en TC" n'était pas une performance à une certaine époque car on était nommé sur un poste de terminale C à vie.
On avait quand même au moins une classe en plus pour compléter son service.
Et j'en ai connu qui, par exemple, n'avaient pas compris grand chose à la notion de définition.
Pour eux c'était immuable, comme écrit dans le ciel.
Ils considéraient les mathématiques comme une matière figée dans le roc.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes - équation avec arguments 03-11-21 à 08:34

Quant aux élèves, ils étaient passés à la moulinette des espaces vectoriels, endomorphismes et autres noyaux dès la classe de seconde.
Même les secondes littéraires (j'ai toujours refusé de leur appliquer ce programme)
Les angles étaient introduits en première par des matrices de rotation.
En terminale les adjectifs "isocèle" ou "équilatéral" devaient être réexpliqués.
Les élèves étaient hyper triés. Les moyens allaient en terminale D.
Bon, j'arrête le défoulement

Posté par
carpediemre : Nombres complexes - équation avec arguments 03-11-21 à 08:48

certes les élèves étaient triés ... mais les élèves savaient lire et écrire en seconde ... qu'en est-il maintenant ?

tu n'en as qu'une petite vision sur les fora mais viens dans une classe ... pour te rendre compte de la triste réalité ... qui s'étend maintenant jusqu'au master même ...

là où je suis d'accord c'est cette sélection absurde en ne considérant qu'une seule voie "royale" (à quel date sont nées les voies technologiques puis professionnelles ?)
les allemands où les suisses pour ne parler que d'eux entre autres ont depuis bien plus longtemps considérer avec autant d'égard toutes les voies de formation en les considérant toutes comme des voies d'excellence ... ce qui n'est toujours pas le cas en France ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes - équation avec arguments 03-11-21 à 08:56

Citation :
les élèves savaient lire et écrire en seconde
Ceux qui arrivaient jusqu'en seconde. La proportion était faible.

Jusqu'il y a peu, je corrigeais les fautes d'orthographe assez systématiquement chez les demandeurs.
Je le fais de moins en moins tellement ça devient chronique
Citation :
à quelle date
Citation :
ont depuis bien plus longtemps considéré

Posté par
carpediemre : Nombres complexes - équation avec arguments 03-11-21 à 09:08



oui ma fréquence de fautes augmente considérablement avec un ordi ... malheureusement ...

ce n'est pas tant la sélection en soi qui est gênante c'est surtout la sélection par l'élimination sans offrir à chacun les moyens de poursuivre dans des conditions équitables (il suffit d'aller voir ce qui se passe dans les filières professionnelles ...)

Posté par
lakere : Nombres complexes - équation avec arguments 03-11-21 à 20:58

En écho à ce qu'à écrit Sylvieg plus haut, je ne résiste pas à vous communiquer un extrait d'un livre de 1ère C au tout début des années 70. On aborde les limites. Nous sommes au début du premier tome (il y en a deux) et le reste est du même acabit).
Je me souviens : il fallait s'accrocher !

Nombres complexes - équation avec arguments
Nombres complexes - équation avec arguments
**image retournée**

L'année suivante en TC et au premier trimestre, nous avons passé une semaine à construire \mathbb{R} avec les coupures de Dedekind.

Tout cela était littéralement terrifiant

Posté par
lakere : Nombres complexes - équation avec arguments 03-11-21 à 20:59

Bon, malgré mes efforts, j'&i tout de même posté une image à l'envers.
Désolé!

Posté par
lakere : Nombres complexes - équation avec arguments 03-11-21 à 21:10

Pour mon malheur, j'étais un peu en avance. En début de  1ère je n'avais encore que 14 ans.
Il faut s'imaginer ...

Posté par
carpediemre : Nombres complexes - équation avec arguments 03-11-21 à 23:15

je suis bien d'accord que ces programmes abstraits furent relativement indigestes ...

Sylvieg @ 03-11-2021 à 08:34

En terminale les adjectifs "isocèle" ou "équilatéral" devaient être réexpliqués.
maintenant encore ... mais simplement avec la définition de collège ... u'ils ne connaissent toujours et de plus en plus qu'à peine ...

il n'y a non seulement plus de langage (i suffit de voir sur les fora que le (quasiment) seul verbe connu est le verbe faire : je fais delta, je fais la dérivée, ...)  mais surtout une incapacité au raisonnement élémentaire ...


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !