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Nombres complexes et Géométrie
Bonsoir,
J'ai un exercice à effectuer pour Vendredi en guise d'entraînement pour un futur contrôle.
Voici l'énoncé :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O ; 
; 
) ( il y a des flèches sur le u et le v ). On considère deux points distincts A et C d'affixes respectives a et c. On suppose que les points O, A et C ne sont pas alignés. On note B et D les points d'affixes respectives b = - i a et d = i c.
1 ) Dans cette situation, on suppose que a = 3 + 1/4 i et c = 1/2 - sqrt ( 3 ) / 2 i. Sur une figure, placer et construire ( c'est-à-dire à la règle non graduée et au compas ) lorsque nécessaire les points O, A, B, C et D. On justifiera les constructions de B, C et D.
Dans les questions suivantes, on revient au cas général. On suppose que les points B et C sont distincts et donc A et D le sont aussi.
2 ) calculer les affixes des vecteurs AB et BC ( il y a une flèche ). Comparer les longueurs AD et BC et démontrer que les droites ( AD ) et ( BC ) sont perpendiculaires.
3 ) On désigne par I le milieu du segment [ AC ]. En utilisant les affixes de deux vecteurs que l'on précisera, démontrer que la médiane ( OI ) du triangle OAC est une hauteur du triangle ODB et que DB = 2 OI.
4 ) La médiane issue de O du triangle ODB est-elle une hauteur du triangle OAC ? Justifier la réponse.
Ce que j'ai fait :
1 ) J'ai placer les points sur mon repère en lien avec ce qui est donnée dans l'énoncé. Je ne peux pas vous montrer car je ne sais pas comment faire.
2 ) Grâce aux affixes A, B, C et D, j'ai calculé les affixes des vecteurs proposés en faisant pour AD zD - zA et pour BC zC -zB. Par ce calcul j'obtiens pour tous les deux 2,15. C'est après que j'ai un problème pour démontrer comme quoi ils sont perpendiculaires.
3 ) 4 )
J'espère que vous pouvez m'éclairer afin que je puisse comprendre pour mon évaluation.
Cordialement.
Bonsoir Philgr22,
Les affixes :
a = 3 + 1/4 i
c = 1/2 - √3/2 i
b = - i a = 1/4 - 3 i
d = i c = √3/2 +1/2 i
Pour AD ( flèche ) :
zD - zA = √3/2 +1/2 i - ( 3 + 1/4 i ) = ( -6 + √3 )/2 + 1/4 i
Longueur √(((√3 )/2 )²+ (1/4 i)²) ≈ 2, 15
Et pour BC ( flèche ) :
zC -zB = 1/2 - √3/2 i - ( - i a = 1/4 - 3 i ) = -1/4 + ( 6- √3 )/2 i
Longueur √(((√3 )/2 )²+ (1/4 i)²) ≈ 2, 15
Comme vous le dites mes résultats sont faux mais je ne vois pas où.
Merci beaucoup d'y avoir prêté attention. Bonne soirée.
L'enoncé demande de faire ces calculs dans le cas general et non avec les valeurs particulieres du 1).
D'accord Philgr22 mais dans ce cas comment faire puisqu'il n'y a pas de valeur pour Bet D ainsi que A et C qui permettrait de les calculer ?
2) Selon l'énoncé, les affixes à utiliser sont a et c pour les points A et C, et - ia et ic pour les points B et D .
Bonsoir Philgr22,
Merci beaucoup pour votre réponse, si j'ai bien compris :
Calcul des affixes,
AB ( flèche ) = zD - zA = -ic - a
BC ( flèche ) = zC - zB = c + ia
Calcul des longueurs,
AB ( flèche ) = l zD - zA l = l -ic - a l = √((-ic)²+ ( -a) ²) = √(c² - a ²).
BC ( flèche ) = l zC - zB l = l c + ia l = √((c)² + ( ia ) ²)= √( c² - a² ).
Remarque : il semblerait, sauf erreur de calcul, que cela soit de la même longueur.
Pour la suite je ne vois pas comment faire pour démontrer qu'elles sont perpendiculaires.
Calcul des affixes,
AB ( flèche ) = zD - zA = -ic - a
BC ( flèche ) = zC - zB = c + ia
Calcul des longueurs,
Est-ce que mon erreur est dans le calcul qui suit ? Et faut-il remplacer zD pourquoi ?
AB ( flèche ) = l zD - zA l = l -ic - a l = √((-ic)²+ ( -a) ²) = √(c² + a ²).
BC ( flèche ) = l zC - zB l = l c + ia l = √((c)² + ( ia ) ²)= √( c² - a² ).
2 ) calculer les affixes des vecteurs AD ( erreur de frappe désolé ) et BC ( il y a une flèche ). Comparer les longueurs AD et BC et démontrer que les droites ( AD ) et ( BC ) sont perpendiculaires.
AD ( flèche ) = l zD - zA l = l ic - a l = √((ic)²+ ( -a) ²) = √( - c² + a ²).
BC ( flèche ) = l zC - zB l = l c + ia l = √((c)² + ( ia ) ²)= √( c² - a² ).
Merci beaucoup d'avoir signalé cette erreur de copie.
Philgr22 est-ce correct maintenant ?
Ce n'est pas juste, car tu traites les affixes a et c comme si c'était des réels.
zAD = ic - a
zBC = c + ia
izBC = . . .
Ce n'est pas juste, car tu traites les affixes a et c comme si c'était des réels.
zAD = ic - a
zBC = c + ia
izBC = . . .
Donc d'après ce que je comprends,
iz BC = ic -a
iz AD = -c + ia
Est-ce bien ça ? Sinon je ne vois pas où vous voulez en venir.
On a donc izAD = zBC .
Cela montre que le vecteur AD résulte d'une rotation de 
/2 du vecteur BC.
Par suite, ces deux vecteurs ont même longueur.
Merci beaucoup de votre aide.
On peut juste conclure ainsi ? Il n'y a donc pas de relation avec iz BC et zAD.
Pour démontrer que c'était perpendiculaire j'étais parti sur un autre chemin en utilisant :
(AD; BC) = ((zC-zB) /(zD-zA).
il fallait démontrer que c'était un imaginaire pur.
Est-ce que pour la question 3 il faut prendre les affixes et diviser par 2 ?
2) Cela me paraît suffisant.
En même temps est démontré que les droites (AD) et (BC) sont perpendiculaires, car multiplier l'affixe d'un vecteur par i fait tourner le vecteur de /2 dans le sens direct.
3) Oui. zI = (a + c)/2 .
Merci beaucoup Priam de votre aide mais pour la suite, pour calculer la médiane je ne vois pas du tout d'où partir.
Ce n'est pas juste, car tu traites les affixes a et c comme si c'était des réels.
zAD = ic - a
zBC = c + ia
izBC = . . .
J'ai fait la meme erreur!!Honte à moi!!!
Bonjour
Voici ma correction
2) posons
za=a= x+iy
zc=c= x'+iy'
zb=-ia= y-ix
zd=ic= -y'+ix'
ZADfleche= racine((-y'-x)2 , (x'-y)2)
ZBCfleche= racine((x'-y)2 , (y'-x)2)
*après calcul de distance on a donc distance ad=bc
*vectAD.vectBC=0 d'où les 2 vecteur sont perpendiculaire donc les droite AD et BC le sont aussi.
3) I milieu de [ac] cordonné de i=((x'+x)/2 ,(y'+y)/2) .montre que vect oi est perpendiculaire au vect db . donc oi est une hauteur au triangle odb.
calcul la distance oi et db tu aura oi=2db
4) calcul cordoné de k milieu de ac, calcul coordoné des vect ok et ac. montre que ces 2 vect sont pendenticulaire. donc ok est une hauteur de oac. fin.
!
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