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Nombres complexes et trigo

Posté par
Yoyo21
11-02-19 à 09:11

Bonjour, j'ai un exo de nombres complexes + trigo et je bloque dessus depuis une bonne semaine, pourriez-vous m'aider ?

1. 1. On pose z_{0}= cos\frac{2\pi }{5}+isin\frac{2\pi }{5}.
a. On pose \alpha = z_{0}+ z_{0}^{4}. Montrer que 1+ z_{0}+z_{0}^{2}+z_{0}^{3}+z_{0}^{4} = 0 et en déduire que \alpha est solution de l'équation (1) : X^{2}+X-1 = 0.
b. Déterminer \alpha en fonction de cos\frac{2\pi }{5}.
c. Résoudre l'équation (1) et en déduire la valeur de cos\frac{2\pi }{5}.

2. On appelle A0, A1, A2, A3 et A4 les points d'affixes respectives 1, z_{0}, z_{0}^{2}, z_{0}^{3}, z_{0}^{4}, dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (O; \vec{u}, \vec{v}).
a. Soit H le point d'intersection de la droite (A1A4) avec l'axe des abscisses. Montrer que l'abscisse de H est égale à cos\frac{2\pi }{5}.
b.  Soit C le cercle de centre Ω d'affixe 1/2 passant par le point B d'affixe i. Ce cercle coupe l'axe des abscisses en M et N (on appellera M le point d'abscisse positive). Montrer que l'abscisse xM de M est égale à a et que H est le milieu de [OM].
En déduire une construction simple d'un pentagone régulier dont on connaît le centre O et un sommet A0.


Pour le 1,a j'ai remplacé les z0 par la formule puis je pensais réunir les cosinus et les sinus mais je ne suis pas sûre de ça : 1+ 4cos\frac{2\pi }{5} ^{10} + 4isin\frac{2\pi }{5} ^{10}.

Posté par
jsvdb
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 09:18

Bonjour Yoyo21.

Pour 1.a je te suggère de remarquer que  1+ z_{0}+z_{0}^{2}+z_{0}^{3}+z_{0}^{4} = \dfrac{1-z_0^5}{1-z_0}

et donc que si tu dois montrer que 1+ z_{0}+z_{0}^{2}+z_{0}^{3}+z_{0}^{4} = 0 alors c'est équivalent à montrer que z_0^5 = 1.

Avez-vous appris la forme exponentielle d'un nombre complexe ?

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 09:19

connais-tu la notation exponentielle des complexes, ce serait beaucoup plus simple à écrire...

z_0=e^{i \,2\pi /5
....

Posté par
Yoyo21
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 09:29

Oui j'ai appris la forme exponentielle en cours.
Si z_{0}^{5} = 1 donc 1-z_{0}^{5} = 0 mais comment est-ce qu'on arrive à z_{0}^{5} ? étant donné que la somme des puissances = 9.

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 09:35

qu'est ce que cette histoire de somme de puissances ?
revoir ton cours sur les suites géométriques....

Posté par
jsvdb
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 09:36

La formule 1+ z_{0}+z_{0}^{2}+z_{0}^{3}+z_{0}^{4} = \dfrac{1-z_0^5}{1-z_0} est indépendant de la valeur de z_0 (enfin si, il faut z_0 \neq 1 quand même).
Il ne faut surtout pas penser "développement" sinon on se fait des noeuds à l'estomac.

z_0=e^{i \,2\pi /5 donc z_0^5=e^{i \,2\pi} = 1

Posté par
Yoyo21
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 09:39

est-ce que 1-z_{0}^{5} = (z_{0}-1)(1+z_{0}+z_{0}^2+z_{0}^3+z_{0}^4) est juste ?

Posté par
Yoyo21
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 09:44

Mais si z_{0}^{5} = 1 et z_{0}\neq 1 on ne peut pas diviser 0.

Posté par
Yoyo21
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 09:56

Tout d'abord comment est-ce qu'on arrive à \frac{1-z_{0}^5}{1-z_{0}}.
Si on met alpha, on a 1+\alpha +z_{0}^5 ?

Posté par
Yoyo21
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 09:58

Je crois qu'il vaut mieux que je reprenne depuis le début

Posté par
Yoyo21
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 10:10

Pour la 1 a je crois que j'ai compris, on applique la formule d'une suite géométrique donc   \frac{1-z_{0}^5}{1-z_{0}}.

Posté par
jsvdb
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 10:11

Oui, vérifie déjà ceci : (1-z_0)(1+ z_{0}+z_{0}^{2}+z_{0}^{3}+z_{0}^{4}) = 1-z_0^5 qui est vrai pour n'importe quel nombre complexe.

Posté par
jsvdb
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 10:12

Ok donc tu as établi que z_0 ^5 = 1

On te demande de vérifier que \alpha^2+\alpha = 1

Donc tu peux développer ... et réduire sachant que z_0 ^5 = 1

Posté par
Yoyo21
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 10:32

jsvdb @ 11-02-2019 à 10:11

Oui, vérifie déjà ceci : (1-z_0)(1+ z_{0}+z_{0}^{2}+z_{0}^{3}+z_{0}^{4}) = 1-z_0^5 qui est vrai pour n'importe quel nombre complexe.

Ok j'ai développé la première expression et j'ai réussi à avoir le même résultat!

Posté par
Yoyo21
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 10:33

jsvdb @ 11-02-2019 à 10:12

Ok donc tu as établi que z_0 ^5 = 1

On te demande de vérifier que \alpha^2+\alpha = 1

Donc tu peux développer ... et réduire sachant que z_0 ^5 = 1


Je n'ai pas compris pourquoi  \alpha^2+\alpha = 1 ?

Posté par
jsvdb
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 10:41

C'est justement ce qu'on demande de vérifier
donc tu vérifies que (z_0+z_0^4)^2+(z_0+z_0^4)=1

Posté par
Yoyo21
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 11:05

jsvdb @ 11-02-2019 à 10:41

C'est justement ce qu'on demande de vérifier
donc tu vérifies que (z_0+z_0^4)^2+(z_0+z_0^4)=1


Vous voulez dire que (z_0+z_0^4)^2+(z_0+z_0^4)=1
équivaut à 1+ z_{0}+z_{0}^{2}+z_{0}^{3}+z_{0}^{4} =1 ?

Posté par
jsvdb
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 11:16

Enfin, vu qu'on a montré que  1+ z_{0}+z_{0}^{2}+z_{0}^{3}+z_{0}^{4} =0 alors je dirai que l'équivalence est plutôt

(z_0+z_0^4)^2+(z_0+z_0^4)=1 \Leftrightarrow 2+ z_{0}+z_{0}^{2}+z_{0}^{3}+z_{0}^{4} =1

Posté par
jsvdb
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 11:18

Tu as juste à développer (z_0+z_0^4)^2+(z_0+z_0^4) et tenir compte du fait que z_0^5=1 ... Ça se fait tout seul.

Posté par
Yoyo21
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 13:20

J'ai développé et j'ai trouvé 2+z_{0}+z_{0}^2+z_{0}^4+z_{0}^8 !?

Posté par
jsvdb
re : Nombres complexes et trigo 11-02-19 à 18:15

Bien, que vaut z_0^8 = z_0^5\times z_0^3 = \cdots

Posté par
Yoyo21
re : Nombres complexes et trigo 13-02-19 à 08:56

jsvdb @ 11-02-2019 à 18:15

Bien, que vaut z_0^8 = z_0^5\times z_0^3 = \cdots

z_0^8 = z_0^5\times z_0^3 = z_{0}^3

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et trigo 13-02-19 à 09:08

oui...
je ne fais que passer, continue

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