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Nombres complexes, l'inversion
Bonjour 
,
J'ai un exercice d'entraînement à réaliser pour la semaine prochaine. Le problème c'est qu'il y a des questions où je ne sais pas comment il faut répondre. Pourriez-vous m'éclairer à ce sujet ?
Le plan P est rapporté au repère orthonormé direct (O,u,v) d'unité graphique 2 cm. On note f l'application directe du plan qui à tout point M d'affixe z du plan privé du point O associe le point M' du plan d'affixe z' tel que :
z' = 1/(z barre) où (z barre) est le conjugué de z.
1) Montrer que les points O, M et M' sont alignés.
2) a ) Déterminer l'ensemble des points Г invariants par f.
b ) vérifier que Г contient les points A et B d'affixe respectives -1 et i.
3) Soit C le cercle de diamètre [AB], E le milieu de [ AB ] et E' = f ( E ).
(c) Déterminer une équation du cercle C
(d) Soit E' l'image du point E, montrer que E' appartient à C
4) Le point M d'affixe z étant un point quelconque de la droite (AB), on se propose de construire son image M' d'affixe z' par l'application f.
(a) Déterminer une équation de la droite (AB).
On pose k = OM 2
z=x+iy et z'=x'+iy' avec x,y,x' et y' réels.
(b) Exprimer k en fonction de x
(c) Montrer que M' appartient à C (on pourra exprimer x' et y' en fonction de x et k)
(d) Déduire des questions précédentes une construction géométrique du point M' en fonction de M
Ce que j'ai fait :
1 ) lz'l=l1/z(barre)l = 1/z(barre) = 1/lzl
Donc arg(z') = arg (1/z(barre)) = arg (1/z(barre)) +
= - arg ( z(barre)) + = arg (z ) + [ ].
Soit z un complexe non nul.
On a M et M' différents de 0,
(OM,OM')*=(
,OM')-(,OM) = arg (z') - arg ( z ) = [ 2 ]
Donc ( OM, OM' ) = [ 2 ]
Donc O,M et M' sont alignés.
* il y a une flèche vecteur sur OM.
2 ) a : f(z)=z soit z/lzl 2= z
Donc lzl2 = 1
lzl =1
Donc z est de la forme z = e i téta
Donc f(z) = 1/ e i téta = z
Donc un invariant est e i téta, téta
Il y a des endroits dans les questions qui suivent où je suis bloqué.
Merci beaucoup d'avance pour votre aide, bonne journée !
salut
1/ semble correct mais bien compliqué ...
M ne peut être O donc M' ne peut être O
l'affixe de M est z donc l'affixe du vecteur OM est ...
l'affixe de M' est ... = ... donc l'affixe du vecteur OM' est ...
il est alors évident que les vecteurs OM et OM' sont colinéaires donc ...
2/ f(z) = z <=> zz* = 1 <=> |z| = 1 <=> OM = 1 donc ...
Bonjour Carpediem !
1 ) en complétant ce que vous m'avez proposé :
"M ne peut être O donc M' ne peut être O
l'affixe de M est z donc l'affixe du vecteur OM est z
l'affixe de M' est z' = 1/z barredonc l'affixe du vecteur OM' est z'
il est alors évident que les vecteurs OM et OM' sont colinéaires donc alignés"
Est-ce correct ?
Merci beaucoup pour votre aide .
Bonjour Carpediem
!
1 ) en complétant ce que vous m'avez proposé :
"M ne peut être O donc M' ne peut être O
l'affixe de M est z donc l'affixe du vecteur OM est z
l'affixe de M' est z' = 1/z barredonc l'affixe du vecteur OM' est z' NON
il est alors évident que les vecteurs OM et OM' sont colinéaires donc alignés" non
si on dit colinéaires on ne dit pas alignés !!
Est-ce correct ?
Merci beaucoup pour votre aide
.l'affixe de M' est z' = ... = ... donc l'affixe du vecteur OM' est ...
il est alors évident que les vecteurs OM et OM' sont colinéaires donc ...
bonjour
1)z' = = z/|z|²
arg z' z[2
donc z' et z sont alignés puisqu'ils appartiennet à une droite dont la pente est l'argument modulo 2
bonjour
1)z' =
arg z'
donc z' et z sont alignés puisqu'ils appartiennet à une droite dont la pente est l'argument modulo 2
cela me rappelle un gag trouvé dans une copie de seconde : deux points sont toujours alignés ... à condition qu'ils soient l'un en face de l'autre
petits rectificatifs :
O, z , z' sont alignés dans cet ordre
une pente n'est pas un angle, donc pas un argument
foxp2
on n'est pas là pour leur donne la solution clé en main mais pour donner des pistes et corriger les erreurs...
Bonjour !
Carpediem,
Bonjour Carpediem
!
1 ) en complétant ce que vous m'avez proposé :
"M ne peut être O donc M' ne peut être O
l'affixe de M est z donc l'affixe du vecteur OM est z
l'affixe de M' est z' = 1/z barredonc l'affixe du vecteur OM' est z' NON
il est alors évident que les vecteurs OM et OM' sont colinéaires donc alignés" non
si on dit colinéaires on ne dit pas alignés !!
Est-ce correct ?
Merci beaucoup pour votre aide
.l'affixe de M' est z' = ... = ... donc l'affixe du vecteur OM' est ...
il est alors évident que les vecteurs OM et OM' sont colinéaires donc ...
1) |z| = (z*zbarre)
donc (|z|)2 = z*zbarre
z barre = (|z|)2/z
z' = 1/(zbarre)
donc z' = 1/((|z|)2/z)
donc z' = z/(|z|)2
Donc z'=k z avec k réel positif = 1/lzl2
arg(z') = arg (z)
donc OM' , d'affixe z', et OM , d'affixe z, colinéaires
Toxp2 et Matheuxmatou,
bonjour
1)z' =
arg z'
donc z' et z sont alignés puisqu'ils appartiennet à une droite dont la pente est l'argument modulo 2
cela me rappelle un gag trouvé dans une copie de seconde : deux points sont toujours alignés ... à condition qu'ils soient l'un en face de l'autre
petits rectificatifs :
O, z , z' sont alignés dans cet ordre
une pente n'est pas un angle, donc pas un argument
Je n'ai pas encore vu les modulo, n'empêche cela semble intéressant
.
Merci encore de votre aide
!cela me rappelle un gag trouvé dans une copie de seconde : deux points sont toujours alignés ... à condition qu'ils soient l'un en face de l'autre
petits rectificatifs :
O, z , z' sont alignés dans cet ordre des complexes ne sont surement pas alignés ...
une pente n'est pas un angle, donc pas un argument
ça c'est ce que je dis à mes élèves quand ils me le sortent ... mais dans la version :
deux points sont toujours alignés ... puisqu'ils sont l'un en face de l'autre
l'affixe de M est z donc l'affixe du vecteur OM est z
l'affixe de M' est z' = 1/z* = (1/|z|^2) z donc l'affixe du vecteur OM' est z' = 1/z* = (1/|z|^2) z
or 1/|z|^2 est un réel
il est alors évident que les vecteurs OM et OM' sont colinéaires car OM' = (1/|z^|^2)OM donc les points O, M et M' sont alignés
Carpediem
salut
2/ f(z) = z <=> zz* = 1 <=> |z| = 1 <=> OM = 1 donc ...
Est-ce correct pour la deuxième question ?
z=f(z)
z=1/z barre
z*z barre = 1
|z|^2 = 1
|z|= racine care de 1
|z|=1
soit vecteur OM = 1
donc l'ensemble des points est un cercle de centre O et de rayon 1.
Merci pour votre aide
!salut,
pour la 1/ l'idee de depart etait bonne
arg(z')=-arg(zbarre)=arg(z) donc O,M,M' sont alignes.
carpediem
oui mais on identifie le plan complexe aux points !
le plan n'est que le plan ...
ce sont les points (ou vecteurs) qui sont simplement repérés par des complexes au lieu de couples
"Je n'ai pas encore vu les modulo,"
c'est quoi les pi entre crochets dans ton premier post (d'ailleurs inutiles)
"Je n'ai pas encore vu les modulo,"
c'est quoi les pi entre crochets dans ton premier post (d'ailleurs inutiles)
+ k × 2pi ?
Bonjour ,
Voici ce que j'ai pour l'instant,
2 ) a :
z=f(z)
z=1/z barre
z*z barre = 1
|z|^2 = 1
|z|= racine carré de 1
|z|=1
soit vecteur OM = 1
donc l'ensemble des points est un cercle de centre O et de rayon R = 1.
2 ) b :
Vecteur AB = l -1 -i l = racine carré de 2.
Or, on sait que le rayon du cercle est R = 1.
Donc AB/2 = sqrt(2)/2 = 0,70.
Donc l'ensemble Г contient les points A et B.
Est-ce correct ?
Merci beaucoup de votre aide !
Désolé, un petit problème technique 
Bonjour
,
2 ) b :
Vecteur AB = l i - ( - 1 ) l = racine carré de 2.
2/a/ ok
2/b/ non OA=1 et OB=1
Effectivement Alb12,
OA = l zA-zO l = ...
OB = ...
2b ) vérifier que Г contient les points A et B d'affixe respectives -1 et i.
Г est l'ensemble des points invariants par f.
que tu as trouvé plus haut comme le cercle de centre O et de rayon R = 1.
il faut chercher dans le schéma si les points -1 et i appartiennent à ce cercle (Г)
Foxp2 merci pour ce schéma !
Il est clair que les points A et B sont bien contenu dans ce cercle. Mais je ne sais pas comment mettre cela sous forme de calcul.
je ne comprends pas ce que tu fais à la question 2b
il suffit de vérifier que f(-1) = -1 et que f(i) = i
le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que le produit scalaire MA.MB = 0
(ce n'est pas parcequ'on est dans un exo de complexe qu'il faille les utiliser à toutes les questions)
Je continue ce que j'avais commencé, je devais aller manger 
.
On sait que :
A ( -1;0 )
B ( 0;1 )
Vecteur OA = l zA - zO l = l -1 l = sqrt(1) = 1
Vecteur OB = l zB - zO l = l 1 l = sqrt(1) = 1
Donc OA + OB = 2
Or, l'ensemble des points invariants et un cercle de centre O et de rayon 1.
Et, les vecteurs OA=OB=1
Donc Г continents les points A et B si mon raisonnement est bon.
Je ne sais pas si mon raisonnement est correct.
Merci de votre aide .
je ne comprends pas ce que tu fais à la question 2b
il suffit de vérifier que f(-1) = -1 et que f(i) = i
le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que le produit scalaire MA.MB = 0
(ce n'est pas parcequ'on est dans un exo de complexe qu'il faille les utiliser à toutes les questions)
Vous m'avez devancé
!
Est-ce que ma méthode tient la route ou pas ?
Merci pour votre aide
!Foxp2 merci pour ce schéma
!
Il est clair que les points A et B sont bien contenu dans ce cercle. Mais je ne sais pas comment mettre cela sous forme de calcul.
Le point A d'affixe -1 appartient à (Г) si son module vaut 1 : ce qui est le cas |A| =1
Idem pour B = i dont le module |B| =1
J'ai continué dans mon exercice :
3 ) a : zE = ( zA+zB )/2 = (-1 +i)/2 = -1/2 +1/2 i
Donc E ( -1/2 ; 1/2 )
C une équation de C :
C : ( x +1/2 )2 + ( y -1/2 )2 = ( AB/2 )2
C : ( x +1/2 )2 + ( y -1/2 )2 = ( sqrt(2)/2 )2 = 1/2
On développe un peu et on obtient :
C : x2 + y2 + x - y = 0
3 ) b : L'affixe E' est l'image de E ( -1/2 +1/2 i .
L'image est obtenue par sa définition :
z' = 1/z barre
Donc zE' = 1/zEbarre
Est-ce que ces deux questions sont correctes ?
Merci beaucoup pour votre aide !
Alb12
3 ) b : L'affixe E' est l'image de E ( -1/2 +1/2 i .
L'image est obtenue par sa définition :
z' = 1/z barre
Donc zE' = 1/zEbarre
zE'= 1/( -1/2 +1/2 i ) barre
= - 2 + 2i
Je ne sais plus qu'est-ce qu'impliquent les barres sur le Z.
J'ai également fait les questions 4 ) a et 4 ) b ,
Où se trouve pour la question 4 ) a : y = x+1
Et pour la 4 ) b : vecteur OM 2 = lzl 2
K = x 2 + ( x + 1 ) 2
Est-ce correct ?
Le problème c'est que je bloque pour une question 4 ) c
Merci beaucoup pour votre aide !
l'exercice vu par le logiciel Xcas 
on peut faire bouger le point M dans la derniere figure avec le curseur a qui precede la figure
x'=x/k
1/k = y'-x'
Calcul de x' 2 + y' 2
On trouve par simplification 1/k
x' 2 + y' 2 = 1/k
On sait que x' 2 + y' 2 = y' - x'
Donc x' 2 + y' 2 + x' - y' = 0
Donc M' appartient à C
Est-ce correct ?
Pourquoi " -2-2i est faux " :embarras
Merci beaucoup pour votre aide !
x'=x/k
1/k = y'-x'
Calcul de x' 2 + y' 2
On trouve par simplification 1/k
x' 2 + y' 2 = 1/k
On sait que x' 2 + y' 2 = y' - x'
Donc x' 2 + y' 2 + x' - y' = 0
Donc M' appartient à C
Est-ce correct ?
ok
Pourquoi " -2-2i est faux " :embarras
Merci beaucoup pour votre aide
!essayer E' = E/k
l'exercice vu par le logiciel Xcas
on peut faire bouger le point M dans la derniere figure avec le curseur a qui precede la figure
C'est trop class Xcas ! Chouette logiciel !
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