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Niveau Maths sup
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nombres complexes: (z+i)^n = (z-i)^n

Posté par JessikaB (invité) 06-11-04 à 11:52

Bonjour à tous,

Le but est simple, il suffit de résoudre dans C l'équation suivante:
(z+i)^n = (z-i)^n
<=> (z+i)^n - (z-i)^n = 0
...
et là blocage!
Tout d'abord, quelqu'un pourrait il me rappeller la formule (a+b)^n
car je pense -je suis meme sure- que les termes de l'équation vont s'annuler et qu'il me restera à la fin seulement le premier et le drenier terme. Quoique comme on a i ds l'équation, et que i^2= -1, il se peut que ce ne soit pas le cas!
Comme vous le voyez, je m'emmele un peu les pinceaux, quelqu'un est il en mesure de m'aider?
Merci d'avance

Posté par minotaure (invité)re : nombres complexes: (z+i)^n = (z-i)^n 06-11-04 à 12:15

salut
je ne pense pas qu'il faut faire comme ca.
(z+i)^n = (z-i)^n

on remarque que z different de i donc on peut diviser
par (z-i)^n
donc
((z+i)/(z-i))^n=1

si on prend Z=(z+i)/(z-i) on Z^n=1
je pense que tu sais resoudre ceci :
c'est Z=e^(2i*k*pi/n) k=0,..n-1

mais notre inconnue de depart c'est z.
Z=(z+i)/(z-i)
comme z different de i on a
Z*(z-i)=z+i=Z*z-Zi
z*(1-Z)=-i(1+Z)
donc en prenant Z different de 1 on a z=-i(1+Z)/(1-Z)

Si Z=1 on aurait z+i=z-i or cette equation n'a pas de solution donc Z Different de 0.

conclusion : les solutions de ton equation sont
z=-i(1+Z)/(1-Z) avec Z=e^(2i*k*pi/n) k=1,..n-1 pour n>1
si n=1 pas de solution.

a verifier tout ca!!!

Posté par minotaure (invité)re : nombres complexes: (z+i)^n = (z-i)^n 06-11-04 à 12:32

a au fait :

(a+b)^n=somme de k=0 a n de (Cn,k)*a^k*b^(n-k)

ou Cn,k=n!/(k!*(n-k)!)

Posté par david1 (invité)re : nombres complexes: (z+i)^n = (z-i)^n 06-11-04 à 14:33

Ecris z sous forme trigonométrique, et essaye de simplifier avec la formule de moivre(et non poivre comme tes acolytes universitaires le disent).

Posté par david1 (invité)re 06-11-04 à 14:38

Non, allez, sans déconner, je ne vois pas trop.
Essaye de développer avec la méthode du binome de newton tu considères a=x et b=i(y+1) avec z=x+iy.
Il devrait bien avoir des simplifications(merde alors!).
Sinon, tu fais comme moi, tu ne rends pas tes DM.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : nombres complexes: (z+i)^n = (z-i)^n 06-11-04 à 17:59

(z+i)^n = (z-i)^n
|(z+i)^n| = |(z-i)^n|
|(z+i)| = |(z-i)|
Avec z = x + iy
-> |x+i(y+1)| = |x+i(y-1)|
|x+i(y+1)|² = |x+i(y-1)|²
x² + (y+1)² = x² + (y-1)²
x²+y²+2y+1 = x²+y²-2y+1
2y = -2y
4y = 0 -> y = 0 et donc z est réel.

z = x et |z| = |x|

(x+i)^n = (x-i)^n
Soit A un argument de (x+i) -> -A est un argument de (x-i)
-> nA = -nA + 2kPi
A = kPi/n

|x+i| = V(x²+1)

x + i =  V(x²+1).e^(kPi/n)
x²+2ix-1 = (x²+1).e^(2kPi/n)

x²(1-e^(2kPi/n)) + 2ix - 1 - e^(2kPi/n) = 0

x = [-i +/- V(-1 + (1-e^(2kPi/n))(1+e^(2kPi/n))]/(1-e^(2kPi/n))
x = [-i +/- V(-1 + (1-e^(4kPi/n)))]/(1-e^(2kPi/n))
x = [-i +/- V(-e^(4kPi/n)))]/(1-e^(2kPi/n))
x = [-i +/- i.V(e^(4kPi/n)))]/(1-e^(2kPi/n))
x = [-i +/- i.(e^(2kPi/n))]/(1-e^(2kPi/n))
x = -i.[1 +/- e^(2kPi/n))]/(1-e^(2kPi/n))

Le - du +/- est à rejeter sinon x serait imaginaire et c'est impossible.

-> x = -i.(1 + e^(2kPi/n))/(1-e^(2kPi/n))
avec k de 1 à n-1

Vérification:
Essai avec n = 3

k = 1 ->  x = 0,57735026919
k = 2 ->  x = -0,57735026919

(0,57735026919 + i)^n = -1,53960071784
(0,57735026919 - i)^n = -1,53960071784

(-0,57735026919 + i)^n = 1,53960071784
(-0,57735026919 - i)^n = 1,53960071784
-> Ca colle.
------
Donc z est réel est vaut: z = -i.(1 + e^(2kPi/n))/(1-e^(2kPi/n)) avec k entier (de 1 à (n-1))
qui malgré l'aspect donne bien des valeurs réelles.

Il doit être assez facile de triturer l'éxpression de z pour la rendre plus jolie.
-----
Sauf distraction (A vérifier).

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : nombres complexes: (z+i)^n = (z-i)^n 06-11-04 à 18:02

Zut j'ai oublié un "i" partout dans les exposants de e, il faut les remettre.  

On a finalement:

z = -i.(1 + e^(i.2kPi/n))/(1-e^(i.2kPi/n))

Posté par minotaure (invité)re : nombres complexes: (z+i)^n = (z-i)^n 06-11-04 à 19:50

on a z = -i.(1 + e^(i.2kPi/n))/(1-e^(i.2kPi/n))
(remarque, c'est exactement ce que j'ai marque dans mon post precedent) avec k=1..n-1 n>1

il suffit de factoriser numerateur et denominateur par
H=e^(i*kPi/n) on notera Hb son conjugue.
c'est a dire Hb=e^(-i*kPi/n)

ce qui fait z=-i(Hb+H)/(Hb-H)
donc z=(cos(kPi/n))/(sin(kPi/n))=cotan(kPi/n)

donc z=cotan(kPi/n) k=1..n-1 n>1
si n=1 pas de solution.
en esperant ne pas avoir fait d'erreur...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : nombres complexes: (z+i)^n = (z-i)^n 06-11-04 à 20:10

Cela me semble parfait minotaure.

On a donc finalement z=cotan(kPi/n) avec k entier (de 1 à n-1)

Et il n'y a pas de solution pour n = 1.

Posté par JessikaB (invité)remerciements 07-11-04 à 16:32

un grd merci à tous pour votre aide!
A bientot



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