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Nombres de Fermat 1er entre eux et binôme de Newton

Posté par
hbx360 02-09-21 à 11:51

Bonjour, il y a plusieurs choses que je ne comprends pas dans la démonstration des nombres de Fermat premier entre eux.

Dans une vidéo faisant la démonstration un certain moment la personne arrive à l'expression suivante :

d \mid 1 +\sum_{i=1}^{2^{k}} \begin{pmatrix} 2^{k}\\ i \end{pmatrix}F_{n}^{i} \left(-1 \right)^{2^{k}-i} +1

Et il dit que comme  d \mid F_{n}
alors on peut retrancher la partie qui fait intervenir des puissances non nul de F_{n}

Ce qui lui permet ensuite d'écrire d \mid 2

Donc je voulais savoir pourquoi on peut faire cela ?
Car si par exemple on a 3 | 1 + 21 + 1 pour moi je ne peux pas retrancher 21 parce que on à 1 et 1 ? Je ne vois pas ce qui justifie de faire ce retranchement.

J'ai aussi une question sur un autre cours qui donne une démonstration un peu différente qui dit : ainsi il existe un entier relatif Q

( à savoir Q = \sum_{k=1}^{2^{p}} \begin{pmatrix} 2^{p}\\ k \end{pmatrix} \left(-1 \right)^{2^{p}-k} F_{n}^{k-1} )

tel que F_{m} = QF_{n} + 2

On sait alors que F_{m} ? F_{n} = F_{n} ? 2. C'est donc ici que je ne comprend pas pourquoi F_{m} disparaît au profit du 2, pourquoi F_{m} vaudrait-il 2 ?

Posté par
ty59847re : Nombres de Fermat 1er entre eux et binôme de Newton 02-09-21 à 12:09

Si 3 divise a+b
et si 3 divise a,
alors 3 divise b

Ca paraît assez évident , je ne vois pas trop pourquoi il faudrait justifier cela.

Peut-être que comme ça, c'est plus clair ?
Si 3 divise x
et  si 3 divise y  
alors 3 divise  x+y  , et il divise aussi x-y

Application :
Si 3 divise (a+b)
et si 3 divise a  
alors 3 divise (a+b) - a

Posté par
hbx360re : Nombres de Fermat 1er entre eux et binôme de Newton 02-09-21 à 14:27

D'accord merci pour ta réponse.

Et pour la 2e question concernant F_{m} \wedge F_{n} = F_{n} \wedge 2 pourquoi F_{m} est remplacé par 2 ?

Posté par
carpediemre : Nombres de Fermat 1er entre eux et binôme de Newton 02-09-21 à 15:50

salut

pour compléter ce que dit ty59847 : règle fondamentale de l'arithmétique : si d divise a et b alors d divise toute combinaison de a et b (et donc les combinaisons linéaires au + bv)

si a = bq + r est la division euclidienne de a par b alors pgcd (a, b) = pgcd (b, r)

valable d'ailleurs même si la relation a = bq + r n'est pas la division euclidienne de a par b ...

Posté par
hbx360re : Nombres de Fermat 1er entre eux et binôme de Newton 02-09-21 à 15:55

Merci pour ta réponse.
Dans a = bq + r je ne vois pas de correspondance avec au + bv ?

Posté par
hbx360re : Nombres de Fermat 1er entre eux et binôme de Newton 02-09-21 à 15:57

Ha oui et pour la 2e question pourquoi  F_{m} est remplacé par 2 ?

Posté par
carpediemre : Nombres de Fermat 1er entre eux et binôme de Newton 02-09-21 à 18:24

carpediem @ 02-09-2021 à 15:50

salut

pour compléter ce que dit ty59847 : règle fondamentale de l'arithmétique : si d divise a et b alors d divise toute combinaison de a et b (et donc les combinaisons linéaires au + bv) ceci est pour la question 1/

ce qui suit est pour la question 2/
si a = bq + r est la division euclidienne de a par b alors pgcd (a, b) = pgcd (b, r) à démontrer (élémentaire avec le résultat précédent) ..

valable d'ailleurs même si la relation a = bq + r n'est pas la division euclidienne de a par b ...

Posté par
hbx360re : Nombres de Fermat 1er entre eux et binôme de Newton 02-09-21 à 18:44

Ha d'accord merci.

Posté par
hbx360re : Nombres de Fermat 1er entre eux et binôme de Newton 03-09-21 à 09:35

Donc pour la question 1, si j'ai bien compris il faut voir cette expression :

d \mid 2 +\sum_{i=1}^{2^{k}} \begin{pmatrix} 2^{k}\\ i \end{pmatrix}F_{n}^{i} \left(-1 \right)^{2^{k}-i}

Comme au + bv ou au = 2 et bv =\sum_{i=1}^{2^{k}} \begin{pmatrix} 2^{k}\\ i \end{pmatrix}F_{n}^{i} \left(-1 \right)^{2^{k}-i}

Posté par
carpediemre : Nombres de Fermat 1er entre eux et binôme de Newton 03-09-21 à 09:49

enfin il faut bien identifier qui sont a, b, u et v ...

Posté par
hbx360re : Nombres de Fermat 1er entre eux et binôme de Newton 03-09-21 à 11:01

D'accord.


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