Bonjour,
J'aurais de votre aide sur cet exercice.
On appelle nombre de Fermat tout entier naturel F_n de la forme F_n=2^2[sup]n[/sup]+1, où n est un entier naturel.
1. a) Calculer F₀, F₁, F₂ et F₃.
Vérifier que ces nombres sont premiers.
b) Vérifier que F₅ est divisible par 641.
2. Démontrer que n , F_n+1=(F_n-1)²+1.
3/Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel supérieur à 1, l'écriture décimale de F_n se termine par 7.(On pourra utiliser les congruences.)
4. Soit k un entier naturel non nul.
a) En posant a=2^2[sup]n[/sup], démontrer que:
(F_n+k-2)/F_n=(a^2[sup]k[/sup]-1)/(a+1).
b) En déduire que F_n divise F_n+k-2.
5. Déduire de la question précédente que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.
Ma réponse :
1.a) F₀=3,
F₁=5,
F₂=17,
F₃=257.

Il est claire que 3, 5, 17 sont premiers.
√257~16
3 ne divise pas 257
5 ---------------257
7 ----------------257
11 ---------------257
13 ---------------257
Il vient donc que 257 est premier.
2. F_n+1=2^2[sup]n+1[/sup]+1
F_n+1=(2^2[sup]n[/sup])²+1
=(F_n-1)²+1.