On vient de commencer les nombres dérviés et je n'arrive pas à faire de exo plutot simple ! :
Determiner le nombre dérivés de la fonction f en a :
a : f(x) = 1 / (X + 1) a = 1
b : f(x) = 1 / X² a = -1
Merci de votre aide !
f(x) = 1/(x+1)
f '(1) = lim(x-> 1) [(f(x) - f(1))/(x-1)]
f '(1) = lim(x-> 1) [(1/(x+1) - (1/2))/(x-1)]
f '(1) = lim(x-> 1) [(2-x-1)/(2(x+1))]/(x-1)
f '(1) = lim(x-> 1) [(1-x)/(2(x+1))]/(x-1)
f '(1) = lim(x-> 1) [-1/(2(x+1))] = -1/4
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f(x) = 1/x²
f '(-1) = lim(x-> -1) [(f(x) - f(-1))/(x+1)]
f '(-1) = lim(x-> -1) [(1/x²)- 1)/(x+1)]
f '(-1) = lim(x-> -1) [(1-x²)/x²)/(x+1)]
f '(-1) = lim(x-> -1) [(1-x)(1+x)/x²)/(x+1)]
f '(-1) = lim(x-> -1) (1-x)/x² = 2/1 = 2
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Sauf distraction.
Merci mais il y a une autre méthode avec un h, est ce que quelqu'un peut m'expliquer !
Ainsi ?
f(x) = 1/(x+1)
f '(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h] = lim(h->0) [(1/(x+h+1) - (1/(x+1))/h]
= lim(h->0) [(x+1-x-h-1)/(h(x+1)(x+h+1))] = lim(h->0) [-h/(h(x+1)(x+h+1))]
= lim(h->0) [-1/(x+1)²]
Pour x = 1 ->
f '(1) = -1/(1+1)² = -1/4
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f(x) = 1/x²
f '(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h] = lim(h->0) [(1/(x+h)² - (1/x²))/h]
= lim(h->0) [(x²-(x+h)²/(hx²(x+h)²)] = lim(h->0) [(x²-(x²+2xh+h²)/(hx²(x+h)²)]
= lim(h->0) [-(2xh+h²)/(hx²(x+h)²)] = lim(h->0) [-(2x+h)/(x²(x+h)²)]
= lim(h->0) [-(2x)/(x²(x)²)] = -2/x³
Pour x = -1 ->
f '(-1) = -2/-1 = 2
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Merci beaucoup pour toutes ces explications ! J'ai un dernier petit problème :
Soit les fonctions f et g définies sur R par f(x) = k où k est un réel donné et g(x) = x.
Démontrer que ces deux fonctions sont dérivables en tout réel a et determiner les deux nombres dérivés.
Merci beaucoup pour votre aide.
pour tout x f(x) = k donc :
soit x un réel
lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h] = lim(h->0) [ (k - k)/h]
on trouve donc que lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h] = 0
l'expression a une limite finie donc f est dérivable en x, donc sur R car x réel quelconque.
même principe pour la 2ème, tu devrais y arriver.
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