Bonjour

Supposons que soit rationnel .
Il existe alors un couple d'entier étrangers tels que :

soit :


Comme a et b sont étrangers , et le sont aussi .
Or , comme , d'aprés le théoréme de Gauss , divise n ce qui est absurde puisque n est premier .

Donc par l'absurde , est irrationnel


Jord

Ce que j'ai dit est assez incomplet .
a² divise n ce qui est absurde puisque n est premier

En fait il faut démontrer au préalable que a² ne peut être ni égal à 1 ni égale à n
Pour n c'est trivial , aucun premier n'est un carré parfait (étant donné qu'aucun réel sauf 0 et 1 n'est idempotent , le résultat se montre facilement)

Maintenant si a²=1 , nb²=1

Or , comme b est un entier non nul , donc et comme n est un premier , donc d'ou le produit ne peut être égal à 1

On en déduit que a² divise n est n'est ni égal à 1 ni à n ce qui est absurde .


Jord