Bonjour
Il est assez facile de montrer que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable, et comme l'ensemble des réels est non dénombrable, il existe une infinité non dénombrable (et donc a fortiori au moins un) de nombres transcendants (= non algébriques).

Fractal

c'est le plus simple oui. accesoirement, il y a certain nombre dont la transandence est assez facile à montrer.

notement parceque si a est algébrique non rationelle, que son polynome minimal est de degré d, il est assez facile de montrer qu'il existe k telle que pour tous rationelle |p/q -a| >k/q^d si je me souviens bien. (indication, prendre P le polynome minimal de a et calculer P(p/q) qui est un rationelle dont le dénominateur est au plus 1/q^d et utiliser le Taf entre p/q et a...


il suffit de trouver un nombre qui nie cette inégalité : par exemple la somme des 10^(-n!) et on obtiens un exemple explicite de nombre transcendant

rebonjour
bon j'ai essayer de rediger une demo, mais je n'y arrive pas, quelqun pourrai-t-il me la mettre en ligne?
merci!

Ca doit se trouver mais voilà :  soit  x  algébrique de degré  d >1 sur  Q .
P  son polynôme minimal sur Z . Soit  p/q un rationnel avec  p et  qpremiers entre eux q>0 : Si  lx-p/ql>1  il est clairement > 1/q^d , dans le cas contraire
lP(x) - P(p/q)l = l P'(y) (x-p/q)l =< Sup P' l x-p/q l  
où le sup est pris dans l'intervalle défini par   lx-p/ql =<1 et  y se balade entre  x  et p/q par Rolle. SOit  M = sup P' pour simplifier les écritures :

lP(p/q)l =< M l x -p/q l  mais le terme de gauche multiplié par b^d est un entier naturel non nul d'où    l x-p/q l >= 1/(Mq^d)
donc finalement  l x -p/q l >= c/q^d  où  c = min(1,1/mq^d) .

Si maintenant  x = Somme 1/10^n!  x n'est pas rationnel car développement non périodique. Si  d est son degré  tu prend les N premiers termes de la série que tu nomme P_N/Q_N  et tu applique sce qu'il y a a avant pour avoir une contradiction.