Bonsoir à tous, j'ai un dm à faire sur les nombres premiers et ceux parfaits, mais je bloque sur quelques questions.

Voici l'énoncé:
On veut démontrer dans cet exercice que tous les nombres de la forme 2ⁿ(2ⁿ⁺¹ - 1), où n est un entier naturel et 2ⁿ⁺¹ - 1 est premier, sont des nombres parfaits: des nombres égaux à la somme de leurs diviseurs propres.

1. Vérifier que 6 et 28 sont parfaits.
6 est divisible par 1, 2, 3 . Leur somme fait 6. Donc, il est parfait
28 est divisible par  1, 2, 4, 7, 14. Leur somme fait 28 =} il est parfait.

2. Soit p un nombre premier et a le nombre 2ⁿ*p
a) Quels sont ses diviseurs propres?
Ils sont 1=2⁰ , 2¹, .... 2^n-1, 2ⁿ. Mais 2ⁿp est également divisible par p et donc par les multiples allant de p*2⁰ à p*2ⁿ.

b) Démontrer que leur somme vaut 2ⁿ⁺¹ -1 + p(2ⁿ -1)
La somme des diviseurs propres est égale à:
2⁰ + 2¹ +....+ 2ⁿ + p*2⁰+....+ p*2ⁿ

Or 2⁰ + 2¹ +....+ 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ -1
et  p*2⁰+....+ p*2ⁿ = p (2ⁿ⁺¹ -1)

Mais ici je tombe sur 2ⁿ⁺¹ -1 + p (2ⁿ⁺¹ -1) et non pas 2ⁿ⁺¹ -1 + p(2ⁿ -1). Est-ce j'ai fait une erreur?

3) On suppose maintenant que p= 2ⁿ⁺¹ - 1
a) Que vaut alors la somme des diviseurs propres de a? Conclure.
Sachant que a=2ⁿp , on a : a = 2ⁿ(2ⁿ⁺¹ - 1)
Mais à partir de là, je suis coincée.

Pourriez-vous m'aidez et me dire si ce que j'ai fait pour le moment est juste?
Merci d'avance,
Natsume