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nombres premiers a trouver

Posté par Julye (invité) 15-07-05 à 20:48

rebonjour !

je tiens tout d'abord a remercier celles et ceux qui ont bien voulu me repondre tout a l'heure

enonce :
voici un exercice sur lequel je bloque :
soit n un entier naturel. pour quelles valeurs de n les nombres n et 8n^2+1 sont-ils simultanement premiers ?


deja, n et 8n^2+1 sont bien premiers entre eux
mais apres ... je ne sais pas par ou commencer en fait
si vous pouviez m'indiquer une piste

merci d'avance

Posté par tutu (invité)re : nombres premiers a trouver 15-07-05 à 21:21

Salut,


8n²+1 est toujours divisible par 3 sauf si n est lui divisible par 3.

Seule soluce : n = 3

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : nombres premiers a trouver 15-07-05 à 21:32

Bonjour tutu,

Et n = 2?

A plus

Posté par
ottore : nombres premiers a trouver 15-07-05 à 21:54

Si n=2 alors 8n²+1=8*4+1=33=11*3 non?

Posté par Julye (invité)re : nombres premiers a trouver 15-07-05 à 21:55

salut tutu

tu m'indiques alors de travailler modulo 3
on a 8n^2+1=2n^2+1=-n^2+1
allez, je vais utiliser une identite remarquable comme dirait Nightmare :
8n^2+1=(1-n)(1+n)
donc c'est nul si et seulement si n=1 ou n=-1=2 le tout modulo 3 (*)

c'est apres que je coince :
supposons qu'il y ait un n pour lequel 8n^2+1 est premier
alors on ne peut plus avoir (*)
seule possibilité n=0 (modulo 3) ???

Posté par Julye (invité)re : nombres premiers a trouver 15-07-05 à 21:56

ha , et donc n ne peut plus etre premier, c'est ca ?

Posté par
Nightmarere : nombres premiers a trouver 15-07-05 à 22:11

Bonjour

Il y a 3 possibilités pour n :


  • 3$\rm n\equiv 0[3]

  • 3$\rm n\equiv 1[3]

  • 3$\rm n\equiv 2[3]


Supposons n congrue à 0 modulo 3

On a alors :
3$\rm n^{2}\equiv 0[3]
soit
3$\rm 8n^{2}+1\equiv 1[3]
donc quelque soit n divisible par 3 , 8n²+1 n'est pas divisible par 3

Supposons à présent n congrue à 1 modulo 3

On a alors :
3$\rm n^{2}\equiv 1[3]
ainsi :
3$\rm 8n^{2}\equiv 2[3]
et
3$\rm 8n^{2}+1\equiv 3[3]\equiv 0[3]

D'autre part si 3$\rm n\equiv 2[3] , 3$\rm n^{2}\equiv 1[3] donc on se raméne au cas précédent.

On en déduit que 8n²+1 est toujours divisible par 3 sauf lorsque n lui même l'est.


Jord

Posté par Julye (invité)re : nombres premiers a trouver 15-07-05 à 22:25

d'accord, en faisant une salade composee de tout ca, on a la reponse

merci bien a toutes et tous

Posté par tutu (invité)re : nombres premiers a trouver 15-07-05 à 22:26

>> ha , et donc n ne peut plus etre premier, c'est ca ?

Xactement Le seul nombre divisible par 3 et premier est .... 3

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : nombres premiers a trouver 15-07-05 à 22:29

Désolé pour mon intervention, j'avais oublié le carré!

Posté par
Nightmarere : nombres premiers a trouver 15-07-05 à 22:31

Oui voila tutu

Posté par tutu (invité)re : nombres premiers a trouver 16-07-05 à 09:20

>> Oui voila tutu

lol

Posté par jmix90 (invité)re : nombres premiers a trouver 22-07-05 à 17:16

COmment ca se voit que c'est divisible par 3(si n pas divisible par 3) ?

Paske sinon on peut rien faire !

Merci d'avance

Posté par
cinnamonre : nombres premiers a trouver 22-07-05 à 17:25

salut ,
si n n'est pas divisible par 3, alors n \eq 1 [3] ou n \eq 2 \-1 [3]. En mettant au carré, ça donne pour les deux cas n^2 \eq 1 [3]. Donc
8n^2 \eq 8 \eq 2 [3]
8n^2+1 \eq 2+1 \eq 3 \eq 0 [3]
Donc 8n²+1 est divisble par 3.


Posté par
cinnamonre : nombres premiers a trouver 22-07-05 à 17:27

oups, erreur de latex, il faut lire "si n n'est pas divisible par 3, alors n \eq 1 [3] ou n \eq 2 \eq -1 [3]".

à+


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