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Nombres premiers dans leur ensemble

Posté par Profil Ramanujan 28-01-20 à 14:00

Bonjour,

Les entiers a_1, \cdots a_k sont premiers dans leur ensemble s'ils n'ont pas de diviseurs communs autres que -1 et 1.

Les entiers a_i sont premiers 2 à 2 si \forall (i,j)  \in [1,k] \ i \ne j \implies pgcd(a_i,a_j)=1

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi si 2 nombres sont premiers 2 à 2 alors ils sont premiers dans leur ensemble ni pourquoi la réciproque est fausse.

Posté par
matheuxmatoure : Nombres premiers dans leur ensemble 28-01-20 à 14:07

ah oui quand même !

6 ; 10 ; 15 sont premiers dans leur ensemble, mais pas deux à deux !

et s'ils sont premiers 2 à 2 ... quels sont les seuls diviseurs de a1 et a2 ?
sachant qu'un diviseurs de toute la série divise automatiquement a1 et a2... voyons voir... que peut-on en conclure ?

Posté par
matheuxmatoure : Nombres premiers dans leur ensemble 28-01-20 à 14:08

et je présume que la phrase exacte était :

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi si des nombres (au moins 3 )) sont premiers 2 à 2 alors ils sont premiers dans leur ensemble ni pourquoi la réciproque est fausse.

Posté par
lionel52re : Nombres premiers dans leur ensemble 28-01-20 à 14:18

C'est pas parce que tu passes de l'analyse à l'arithmétique qu'il faut reprendre les mauvaises habitudes, c'est à dire poser des questions niveau lycée sans avoir essayé de réfléchir 30 secondes aux définitions et essayé de faire quelque chose par soi même. Le contre exemple était facile à trouver ici.

Sinon hors sujet la définition de "premiers dans leur ensemble" perso j'ai jamais vu ça et si c'est une définition du cours, faut faire gaffe à ce que le bouquin t'innonde pas de définitions pas forcément utiles alors que tu galères déjà sur les notions les plus simples

Posté par
matheuxmatoure : Nombres premiers dans leur ensemble 28-01-20 à 14:24

cela dit, même si c'est une "proposition" plutôt qu'une "définition", la phrase est vraie pour "premiers dans leur ensemble"...

Posté par Profil Ramanujanre : Nombres premiers dans leur ensemble 28-01-20 à 16:15

matheuxmatou @ 28-01-2020 à 14:07

ah oui quand même !

6 ; 10 ; 15 sont premiers dans leur ensemble, mais pas deux à deux !

et s'ils sont premiers 2 à 2 ... quels sont les seuls diviseurs de a1 et a2 ?
sachant qu'un diviseurs de toute la série divise automatiquement a1 et a2... voyons voir... que peut-on en conclure ?


Je ne comprends pas votre contre exemple.

2 est un diviseur commun à 6 et 10 donc 6 et 10 ne sont pas premiers dans leur ensemble.

Posté par Profil Ramanujanre : Nombres premiers dans leur ensemble 28-01-20 à 16:18

Soit (i,j) fixés avec i \ne j

Si 2 nombres sont premiers 2 à 2 alors \mathcal D(a_i)=\{-1,1\}=\mathcal D(a_j)

Donc les a_i sont premiers dans leur ensemble.

Posté par Profil Ramanujanre : Nombres premiers dans leur ensemble 28-01-20 à 16:21

J'ai essayé plusieurs exemples je ne trouve pas de contre exemple;

Je ne vois pas comment 2 nombres qui sont premiers dans leur ensemble pourraient ne pas être premiers entre eux.

Posté par
lionel52re : Nombres premiers dans leur ensemble 28-01-20 à 16:42

Tu n'as pas compris la définition de départ. Donne un exemple de 3 nombres qui sont premiers dans leur ensemble et explique pourquoi ils le sont.

Posté par Profil Ramanujanre : Nombres premiers dans leur ensemble 28-01-20 à 17:29

D'accord. Je considère que les diviseurs positifs.

Je prends a_1=2 a_2=7 et a_3=21
\mathcal D(a_1)=\{1,2\}
\mathcal D(a_2)=\{1,7\}
\mathcal D(a_1)=\{1,3,7\}
On a \mathcal D(a_1) \cap \mathcal D(a_2) \cap \mathcal D(a_3)=\{1\}

Mais 7 et 21 ne sont pas premiers entre eux car 21 = 3 \times 7

Posté par
Ulmierere : Nombres premiers dans leur ensemble 28-01-20 à 17:51

A-t-on
(\forall n\geqslant 3)(\forall (a_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\subseteq\mathbb{N}^\ast), \\\qquad\left(\forall (i,j)\in\{1,\cdots,n\}^2, i\neq j\implies D(a_i)\cap D(a_j) = \{1\}\right)\implies\left(\bigcap_{i=1}^n D(a_i) = \{1\}\right)

???

Et la réciproque ?

Posté par
matheuxmatoure : Nombres premiers dans leur ensemble 28-01-20 à 18:19

Ramanujan @ 28-01-2020 à 16:15

matheuxmatou @ 28-01-2020 à 14:07

ah oui quand même !

6 ; 10 ; 15 sont premiers dans leur ensemble, mais pas deux à deux !

et s'ils sont premiers 2 à 2 ... quels sont les seuls diviseurs de a1 et a2 ?
sachant qu'un diviseurs de toute la série divise automatiquement a1 et a2... voyons voir... que peut-on en conclure ?


Je ne comprends pas votre contre exemple.

2 est un diviseur commun à 6 et 10 donc 6 et 10 ne sont pas premiers dans leur ensemble.


tu te moques du monde !

t'en connais beaucoup des diviseurs communs à ces trois nombres à part 1 et -1 ?

Posté par Profil Ramanujanre : Nombres premiers dans leur ensemble 28-01-20 à 19:43

@Matheux
J'avais mal compris la définition comme l'a remarqué Lionel.

Posté par Profil Ramanujanre : Nombres premiers dans leur ensemble 28-01-20 à 20:03

Ulmiere @ 28-01-2020 à 17:51

A-t-on
(\forall n\geqslant 3)(\forall (a_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\subseteq\mathbb{N}^\ast), \\\qquad\left(\forall (i,j)\in\{1,\cdots,n\}^2, i\neq j\implies D(a_i)\cap D(a_j) = \{1\}\right)\implies\left(\bigcap_{i=1}^n D(a_i) = \{1\}\right)

???

Et la réciproque ?


L'implication est vraie.

La réciproque est fausse : je viens de donner un contre exemple.

Posté par
Ulmierere : Nombres premiers dans leur ensemble 28-01-20 à 20:21

Ramanujan @ 28-01-2020 à 20:03

Ulmiere @ 28-01-2020 à 17:51

A-t-on
(\forall n\geqslant 3)(\forall (a_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\subseteq\mathbb{N}^\ast), \\\qquad\left(\forall (i,j)\in\{1,\cdots,n\}^2, i\neq j\implies D(a_i)\cap D(a_j) = \{1\}\right)\implies\left(\bigcap_{i=1}^n D(a_i) = \{1\}\right)

???

Et la réciproque ?


L'implication est vraie.

La réciproque est fausse : je viens de donner un contre exemple.


Et maintenant, relis ta question initiale. Conclusion ?

Posté par
matheuxmatoure : Nombres premiers dans leur ensemble 29-01-20 à 00:44

c'est terrible de ne pas comprendre le français et d'en revenir à un bourbakisme effréné

d'ailleurs on remarquera qu'il suffit que, dans la bande, il y en ait 2 qui soient premiers entre eux pour qu'ils soient premiers dans leur ensemble !

Posté par
matheuxmatoure : Nombres premiers dans leur ensemble 29-01-20 à 00:46

et si vraiment tu y tiens Ramanujan :


(\forall n\geqslant 3)(\forall (a_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\subseteq\mathbb{N}^\ast), \\\qquad\left(\exists (i,j)\in\{1,\cdots,n\}^2, i\neq j ;  D(a_i)\cap D(a_j) = \{1\}\right)\implies\left(\bigcap_{i=1}^n D(a_i) = \{1\}\right)

Posté par Profil Ramanujanre : Nombres premiers dans leur ensemble 29-01-20 à 14:34

Ça répond à ma question merci.

Par contre je bloque sur la suite, l'auteur dit que l'implication suivante est évidente (la réciproque étant obtenue grâce à l'égalité de Bezout) :

(\exists (u_i)_{1 \leq i \leq k} \ \sum_{i=1}^k u_i a_i =1 ) \implies ( (a_1,a_2, \cdots a_k) \ \text{sont premiers entre eux dans leur ensemble} )

Je n'arrive pas à le montrer.

Posté par
lionel52re : Nombres premiers dans leur ensemble 29-01-20 à 14:40

Soit d qui divise l'ensemble des ai alors...

Posté par Profil Ramanujanre : Nombres premiers dans leur ensemble 29-01-20 à 15:09

Ok merci j'ai compris. On obtient que d divise 1 donc que d vaut 1 ou -1.


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