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Nombres premiers de la forme 12k+7
Posté par Meiosis
Bonjour,
Je voudrais savoir pourquoi la formule suivante donne les nombres premiers de la forme 12k+7 dans l'ordre.
La formule est la suivante :
---
Soit la somme des diviseurs de
avec
un entier naturel finissant par 1 et dont l'avant dernier chiffre est impair (par exemple 11, 31, 51, 71, 91 etc).
On initialise la formule en calculant le reste de la division de par
(donc ici n=11) et on note
ce reste. On trouve
.
Ensuite on calcule les autres restes en remplaçant n par 31, 51, 71, 91, 111 etc et si un reste donné est égal au reste précédent auquel on ajoute 12 alors le reste en question est un nombre premier.
Par exemple si on prend n=31, le reste de la division de par
vaut
et comme 19=7+12 (c'est-à-dire égal au reste précédent obtenu avec n=11 auquel on ajoute 12) alors 19 est un nombre premier.
Mais par contre si on prend n=91 on a le reste de la division de par
qui vaut
et comme 91=/=43+12 (c'est-à-dire n'est pas égal au reste précédent obtenu avec n=71 auquel on ajoute 12) alors on repère facilement que 91 n'est pas un nombre premier.
En fait cette formule donne les nombres premiers de la forme 12k+7 dans l'ordre à condition de connaître le résultat des calculs précédents, c'est pour ça que je pense qu'il faut la démontrer en raisonnant par récurrence mais je peux me tromper.
Avez-vous une idée ?
Peut-être partir sur le fait que la somme de deux nombres premiers jumeaux est divisible par 12 mais là je ne vois pas trop le rapport.
Merci.
Tu t'intéresses beaucoup aux nombres premiers. Les nombres premiers ont ce pouvoir de fascination, ils peuvent faire perdre la raison aux gens qui se laissent envouter. Méfie toi. Ils sont dangereux.
Où as-tu trouvé cette formule ?
Que dit le document ?
-C'est un exercice pour des lycéens ?
-C'est un exercice pour des gens qui préparent un doctorat de maths ?
-Cette formule magique semble marcher pour tous les nombres, mais en fait on n'en a pas la certitude et on essaie de la démontrer ?
Si c'est un exercice pour lycéen, on va chercher avec les outils connus des lycéens ; si c'est un truc qui semble vrai mais qui n'est pas certain, la première idée, c'est de vérifier par programme si c'est vraiment exact.
La première étape, c'est de reformuler l'histoire des nombres qui finissent par un chiffre impair suivi d'un 1.
Soit n de la forme n=20k+11
C'est quand même plus facile à exploiter pour la suite. On ne peut pas se lancer dans des exercices aussi compliqués, si on ne voit pas que cette nouvelle formulation est plus exploitable.
Bonjour,
Ton algorithme commence à coincer vers
donne
premier.
donne
premier et n'est pas égal au reste précédent +12.
De plus : premier a été loupé.
Bonjour,
En effet je m'intéresse beaucoup aux nombres premiers et je te remercie pour la reformulation du problème ty59847.
C'est moi qui ai découvert ce problème, je l'ai posté ici pour avoir des avis et je ne sais pas son niveau de difficulté.
lake @ 20-05-2022 à 11:47
Bonjour,
Ton algorithme commence à coincer vers
donne 
premier.
donne 
premier et n'est pas égal au reste précédent +12.
De plus :
premier a été loupé.
Bonjour,
Ton algorithme commence à coincer vers
De plus :
En fait c'est moi qui ai mal formulé le problème. Il n'est pas nécessaire que le reste suivant soit égal au reste précédent +12. C'est juste que quand on parcourt les valeurs de n on tombe sur les nombres premiers de la forme 12k+7 dans l'ordre.
On peut reformuler le problème ainsi : on calcule le reste de la division de
J'ai vu des dizaines et des dizaines de messages de ce genre. Je prends des nombres, je les triture pour qu'ils ne soient pas multiples de 2, ni de 3, ni de 5, ni de 7, ni de 11 etc, je calcule les 1ers termes de cette suite, et oh magie, ils sont tous premiers.
Miracle, pouvez vous valider ma recette pour trouver des nombres premiers...
Et systématiquement, la recette est fausse. Evidemment, elle marche pour les petits nombres, quand on se débrouille pour avoir des nombres qui sont petits et qui ne sont divisibles par aucun nombre premier entre 2 et 11, ils ont de très grandes chances d'être premiers.
Tu veux faire une découverte ? amuse-toi, vérifie que ta découverte fonctionne pour tous les nombres entre 2 et 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, et si c'est le cas, tu auras un début de découverte.
Bonjour ty59847,
Je rajoute une couche : Meiosis poste des soi-disant "exercices" par exemple ici : 
Somme des diviseurs et nombres premiers où il écrit :
Citation :
Je dois montrer que si le reste de la division de)
par 
vaut 
alors 
est un nombre premier.
Je dois montrer que si le reste de la division de
La moindre des choses aurait été de nous dire que c'est une de ses conjectures (plus ou moins foireuse).
Il est bien évident que je vais cesser de lui répondre : je ne suis pas là pour trouver des contre exemples à des conjectures naïves.
Bonjour,
la moindre des choses est de formuler clairement
Citation :
on calcule le reste de la division de (60k+35)-2 par 20k+13 et si le résultat est de la forme 12k+7 alors 12k+7 est un nombre premier.
on calcule le reste de la division de (60k+35)-2 par 20k+13 et si le résultat est de la forme 12k+7 alors 12k+7 est un nombre premier.
lequel ?
"de la forme 12k+7 " veut dire que ce "k" là est une variable muette n'ayant aucun rapport avec le k du début de la phrase.
et alors les contre exemples, il ne faut pas aller en chercher bien loin (k = 4 donne r = 91 = 12*7 +7, "de la forme" et 91 n'est pas premier)
tu voulais sans doute dire :
si le résultat est égal à 12k+7 (le même k que au début de la phrase)
(avec k = 4 le résultat 91 n'est pas égal à 12*4 + 7 = 55, donc effectivement éliminé)
m'enfin .. discussion un peu stérile de toute façon.
trouver tous les diviseurs, (ou même seulement tous les diviseurs premiers) pour calculer un sigma(n) à tester ensuite (par un critère toujours pas prouvé ni infirmé) alors que trouver un seul diviseur de 12k+7 suffit est totalement inefficace
et tu prétendais au début de la discussion :
"donne les nombres premiers de la forme 12k+7 dans l'ordre. "
ce qui est faux puisqu'il ne les donne pas tous. (cf lake)
et de plus alors tu bidouilles "l'énoncé" un peu comme ça t'arrange
("dépend des résultats précédents" alors que finalement non : "pas forcément le précédent")
et ce "de la forme" faux qu'il reste à corriger en "égal à"
et puis les recherches personnelles sur des "sujets sensibles" (conjecture de Syracuse, générateurs magiques de nombres premiers, conjecture de Goldbach etc) prétendant des "découvertes" ce doit plutôt être dans le forum "expresso" (discussion de tout et de rien) que dans le forum d'entraide scolaire !
Bonjour mathafou,
J'ai failli l'expédier dans
Il y a des "spécialistes" là bas : des trissecteurs patentés, des quadrateurs illuminés, des syracusiens convaincus, des Fermat-Wiles en herbe et j'en passe ...
Bon, la bienveillance n'est pas toujours au rendez-vous ... 
Tiens "la même chose" en infiniment plus simple (mais exactement aussi inefficace) pour trouver tous les nombres premiers de la forme 12k+7
pour tous les k de si
, alors
est premier
(et ça, ça se "démontre" avec la simple définition de "nombre premier" et de , une demi ligne d'explication :
n > 1 est premier si et seulement si )
Pas convaincu par les calculs de lake, il a décidé hier de reproposer sa découverte sur un autre forum :
"de lake" ??
tu veux dire que Meiosis (le demandeur) est sans doute celui qui a reposté ailleurs sous le pseudo craw
(il y a peu de chance qu'un autre ait eu cette même idée farfelue ...)
je signale que le multipost (y compris multiforum) est interdit ici
Vu le relativement peu d'intérêt de cette "chose" on (je) va laisser couler, même si le règlement dit textuellement :
Oui, évidemment Meiosis=Craw. Et Meiosis n'a visiblement pas été convaincu par le vérification faite par Lake, qui a trouvé un contre-exemple( p=271, oublié, et n=371 où la machine ne marche plus)
271 n'était oublié que avant la correction "pas forcément égal au précédent" faite après coup par Meiosis (bidouille, bidouille...)
ses dernières formules en ajoutant ma nouvelle correction ("égal à 12k+7" et pas "de la forme" 12k+7) n'en oublie pas et n'en déclare pas de faux premiers jusqu'à "assez loin"
sans aucune preuve que ça aille jusqu'à l'infini bien entendu.
il est impossible de tester très loin (k < quelques milliers au plus) de toute façon à cause de la complexité calculatoire de sigma(n) (= chercher tous les diviseurs [premiers] d'un nombre, bien plus compliqué/long que de tester chaque 12k+7 directement si premier ou pas)
j'avais fait un petit programme en Python pour ça, mais je ne suis pas chez moi en ce moment et pas de Python ici.
traduire directement les formules en un programme Python n'est pas bien difficile de toute façon.
(meiosis n'a sans doute même pas essayé ...)