Bonsoir,
1)soit d diviseur (>1) de x-2n et y-2n : son carré divise 2n², or 2 est premier donc
si d² divisait 2, 2 serait composé, contradiction. Donc (th Gauss) d² divise n², donc d divise n.
Donc d divise n et x-2n : il divise x, idem pour y (traiter avant de conclure le cas où d divise 2 ie d=2)

Tout diviseur de x et y divise (x+y-2n)², d'après l'égalité proposée (qui s'obtient en développant les deux égalités) et divise donc (x+y-2n) (th Gauss)
donc il divise 2n. Donc il divise x-2n et y-2n.

2)Si d=2 et d divise x et y alors 2 divise x-2n et y-2n donc 4 divise n²
donc 2 divise n : d divise n
Sinon d divise x et x-2n donc d divise 2n donc (th Gauss) d divise n

Bonjour,

en fait je crois qu'il ne s'agit que d'une faute de frappe.
Jerk a dû vouloir dire que si d divise x et y, alors d² divise x² et y², donc leur somme (x+y-2n)², d'où d divise x+y-2n.
Par contre où intervient le fait que x>2n et y>2n?

Tigweg

Ah ok.

Le fait que x>2n et y>2n assure qu'on a toujours des entiers positifs mais c'est vrai qu'on n'en a pas besoin.

Merci! vos réponses m'ont fait apprendre et réviser beaucoup de proprié tés et de techniques.Mais il ya certains points sur lesquels je voudrais d'amples explications:
pouvez-vous m'expliquer l'implication suivante:
d[sup]2 divise n[2],

Merci! vos réponses m'ont fait apprendre et réviser beaucoup de proprié tés et de techniques.Mais il ya certains points sur lesquels je voudrais d'amples explications:
-pouvez-vous m'expliquer pourquoi Jerk écrit(c'est en question 1):
d² divise n² alors d divise n.
-Je ne comprend pas également dans quel sens Jerk demande traiter particulièrement le cas  où  d/2(c'est toujours en question 1).

-Enfin j'aimerai completer l'exo pour tous ceux que cela intéresse:
Alors dans la suite de l'exo, au 4) on dit ceci:
On suppose que n=30.Trouvez tous les couples (x,y) premiers entre eux et vérifiant la relation (i).

(Ici je crois bien que l'on doit utiliser les questions précédentes, mais je ne trouve pas le lien, étant donné que pgcd(x,y)=1, pouvez-vous me donner une moindre indication?

Bonjour franc15

Ce que dit Jerk est vrai mais je t'accorde que ce n'est pas immédiat.
Pour s'en convaincre, il faut écrire la décomposition de d et n en produit de facteurs premiers. Es-tu convaincu ou alors as-tu besoin d'une démonstration ?

Kaiser

L'indication parait suffisante.j'irai d'abord chercher.
Ensuite peux-tu aussi me souffler d'autres indications pour le cas "d=2" et l'ensemble des couples (x,y) premiers entre eux?

Je viens de me rendre compte de quelque chose.

Jerk a montré que d² ne peut pas diviser 2 et il utilise le théorème de Gauss, mais en fait, il ne peut pas car pour ce faire, il doit montrer que d² est premier avec 2, ce qui n'est pas forcément vrai.
Je pense que l'on doit reprendre cette question, enfin, il me semble.

Kaiser

Je vais y revenir.Comment tu pense trouver les coupmes (x,y)?

Les couples (x,y) premiers entre eux , je voudrai dire.

Il est demandé de résoudre l'équation suivante :


Ainsi x-60 et y-60 sont des diviseurs strictement positifs de 1800.
Or d'après la 1), tout diviseur commun à x-60 et y-60 divise x et y et ces deux entiers sont premiers entre eux. On déduit alors que x-60 et y-60 sont premiers entre eux.
Il faut donc dans un premier temps trouver toutes les factorisations possibles de 1800 sous la forme d'un produits de 2 entiers premiers entre eux.

Kaiser

MErci kaiser pour les indications.Pour le reste je m'en chargerai.Bonne journée!

Mais je t'en prie !
Bonne journée à toi aussi !