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Nombres premiers jumeaux

Posté par
Meiosis
19-06-22 à 10:04

Bonjour,

J'ai un nouveau problème à vous soumettre, j'ai essayé des choses mais je n'aboutis pas.

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On note (a;b) un couple de nombres premiers jumeaux (excepté (2;3)) tel que b=a+2, \phi(2*a) l'indicatrice d'Euler et \sigma(2*a) la somme des diviseurs de 2*a.

On calcule le rapport \frac{\sigma(2*a)}{\phi(2*a)} et on obtient une fraction que l'on simplifie au maximum (irréductible) de la forme \frac{x}{y}.

Je veux montrer que x+y=2*a+1 et x-y=b.

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Ce que j'ai fait maintenant :

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Le rapport \frac{\sigma(2*a)}{\phi(2*a)}=3 car comme a est premier alors \sigma(2*a) = 3*sigma(a) = 3*(a+1) = 3a+3 et \phi(2*a)=a-1 donc le rapport vaut en réalité \frac{3n+3}{n-1}=3.

J'ai aussi remarqué que a modulo 6 vaut 5.

Mais ça a l'air spécifique des nombres premiers jumeaux (plus précisément de a) car ça ne marche pas avec b ni avec d'autres nombres premiers.

Je ne trouve pas la solution...

Posté par
ty59847
re : Nombres premiers jumeaux 19-06-22 à 12:17

a modulo 6 vaut 5 ; oui, ça, c'est facile à montrer, dès qu'on s'intéresse un peu aux nombres premiers.
\phi(2*a)  = le nombre de nombres inférieurs à 2a, et premiers avec 2a. Donc le nombre de nombres impairs inférieurs à 2a, et différents de a. donc a-1
Pour rendre le jeu plus difficile, tu as choisi d'écrire ça \phi(2*a)   plutôt que a-1

la somme des diviseurs de 2a. c'est 1+2+a+2a, c'est à dire 3+3a

On s'intéresse à la fraction (3+3a)/(a-1)
Les 2 nombres 3+3a et a-1 sont pairs, on s'intéresse donc en général aux 2 nombres (3+3a)/2 et (a-1)/2.
Effectivement la somme de ces 2 nombres vaut 2a-1, et leur différence vaut a+2
Et on montre tout aussi facilement que 3+3a et a-1 ont comme seul diviseur 2.

Tu as voulu présenter cela comme une propriété des nombres premiers jumeaux, pour rendre le truc compliqué. Mais tu n'as piégé que toi.

Posté par
Meiosis
re : Nombres premiers jumeaux 19-06-22 à 12:36

Merci pour la réponse.

Je comprends mieux, je pars souvent dans du compliqué que je n'arrive pas à retranscrire en plus simple, je dois essayer de travailler ce point.

Posté par
ty59847
re : Nombres premiers jumeaux 19-06-22 à 13:45

On peut le voir comme ça.
Tu dois simplement essayer d'oublier les nombres premiers et nombres premiers jumeaux. Ils t'ont envouté.

Posté par
ty59847
re : Nombres premiers jumeaux 21-06-22 à 09:34

Comme d'habitude, double post :

Et vraiment, tu ne vois pas pourquoi si a et b sont 2 nombres premiers jumeaux tels que b=a+2, autres que 3 et 5,  alors a est forcément de la forme 6k+5 ?????

Surprenant.

C'est à croire que plus les gens s'intéressent aux nombres premiers, moins ils les comprennent !



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