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nombres premiers, théorème de Fermat

Posté par
madiba
19-08-22 à 13:31

Bonsoir chers profs ; s'il vous plaît j'ai un énoncé qui me dérange : p est un nombre premier positif et impair et n un entier naturel non nul tel que PGCD(n,p)=1.

Montrer que [tex]n^((p-1)/2)\equiv 1[p] [\tex] et [tex] n^((p+1)/2)\equiv -1[p].
EN déduire que [tex] n^(p(p-1))\equiv 1[p][\tex].

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : nombres premiers, théorème de Fermat 19-08-22 à 13:40

Bonjour,
Rappel des recommandations qui t'ont été faites :
Préciser le contexte dans lequel tu travailles.
Donner tes pistes de recherches.

Par ailleurs, je te conseille d'utiliser le bouton d'aide au LaTeX pour les formules.
Quand l'exposant est long, il faut utiliser {...}.
Pour \Leftrightarrow c'est "\Leftrightarrow".

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : nombres premiers, théorème de Fermat 19-08-22 à 13:43

Pour \equiv, c'est bien "\equiv", mais il faut un espace devant.
Faire "Aperçu" avant de poster permet d'éviter les messages illisibles

Posté par
ty59847
re : nombres premiers, théorème de Fermat 19-08-22 à 13:54

Montrer que  n^{(p-1)/2} \equiv 1[p]  

et n^{(p+1)/2} \equiv -1[p].

En déduire que  n^{p(p-1)} \equiv 1[p] .

Posté par
madiba
re : nombres premiers, théorème de Fermat 19-08-22 à 14:55

Merci beaucoup ty59847 de la saisie

Posté par
ty59847
re : nombres premiers, théorème de Fermat 20-08-22 à 00:43

J'ai testé.
n=2 et p=11
Et la proposition n°2 est fausse.

Posté par
Rintaro
re : nombres premiers, théorème de Fermat 20-08-22 à 11:29

Bonjour, il y a une pléthore de contre-exemple pour la première assertion en plus de celui donné par ty59847. Il suffit de considérer les carrés non nuls de \mathbb{F}_p. D'après cet exercice, tous les éléments non nuls du précédent corps seraient des carrés, ce qui est faux lorsque p est différent de 2 (ça tombe pile dans le contexte de l'exercice). Où as-tu trouvé cet énoncé ?... Quand je vois "théorème de Fermat" en énoncé, je crois savoir à quoi tu fais référence pourtant, et il me semble que tu l'as déjà utilisé dans des précédents posts.

Posté par
madiba
re : nombres premiers, théorème de Fermat 20-08-22 à 22:51

Bonsoir les matheux l'auteur de cet exercice dans son fascicule a fait une erreur. L'énoncé vrai est le suivant : soit p un entier naturel premier et impair, n un entier naturel non nul , premier avec p .
1) Montrer que n^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p] ou n^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1[p]
2) Montrer que n^{p(p-1)}\equiv1[p]

Posté par
madiba
re : nombres premiers, théorème de Fermat 20-08-22 à 22:52

J'ai pu traiter en utilisant le petit théorème de Fermat

Posté par
ty59847
re : nombres premiers, théorème de Fermat 20-08-22 à 22:58

A priori, la question 2 est même :
En déduire que n^{p-1} \equiv 1 [p]

Posté par
madiba
re : nombres premiers, théorème de Fermat 21-08-22 à 11:07

Oui oui Tyr59847 merci bien



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