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Nombres puissants
Bonjour tout le monde,
D'abord une définition officielle mais peu connue 
: un entier strictement positif est appelé puissant si pour chaque nombre premier
divisant
,
divise aussi
Est-ce que tous les entiers entre 1 et 15 peuvent s'écrire comme la différence de deux nombres puissants ? Si oui, comment ?
Plus généralement, est-ce que tous les entiers strictement positifs peuvent s'écrire comme la différence de deux nombres puissants ?
Voilà, voilà, bon courage, il y a eu des publications officielles à ce sujet dans les années 1985 mais je garde le mystère et je vous invite à chercher par vous-même 
Les nombres impairs, c'est clair, tout nombre impair est la différence de 2 carrés : 2a+1=(a+1)²-a²
Les multiples de 4, à partir du résultat ci-dessus, on trouve immédiatement une réponse.
Par exemple pour 56, 56=8x7, 7=4²-3² donc 56 est la différence de 4*4² et 8*3², qui sont tous les 2 puissants.
Reste les nombres pairs non multiples de 4. Ceux qui manquent dans le travail de dpi !
Si n est pair non multiple de 4, il faut chercher p et q tous les 2 puissants, tels que n=p-q.
Nécessairement, p et q seront impairs.
On trouve 10 = 133-37, 18=73-152 ou 22=72-33 , donc il y a de l'espoir.
Mais je ne trouve ni 6 ni 14.
Joli dpi et ty59847, vous venez de faire les 3/4 du travail mais ce qui reste est le plus difficile, il y a de l'espoir en effet
Pour l'instant, toutes nos solutions sont des différences de puissances au lieu de différence de puissants. Il y a plus de puissants que de puissances.
Les nombres sur lesquels on butte sont conjecturés impossibles avec des puissances:
Il est prouvé au contraire que c'est possible pour toutes les différences avec des puissants:
Utilisant la forme a²b³ des puissants, j'ai codé un petit script qui trouve les solutions pour toutes les différences < 66.
Je n'ai pas trouvé de solutions parmi tous les nombres puissants < 175000³ pour une différence de 66.
Le code:
Les résultats:
Cliquez pour afficherComme montré par ty59847, les 4n+2 sont les plus difficiles à trouver.
Une publication qui va peut-être te plaire Littlefox, ils détaillent un algorithme pour s'en sortir mais bravo quand même pour ta réussite.
@Vassillia
Pas facile à suivre mais j'ai réussi à implémenter leur algorithme:
Il ne donne clairement pas les résultats les plus petits:
Cliquez pour afficherPour n = 66, après plusieurs optimisations, j'ai obtenu deux nombres à 1.704.767 chiffres. Je n'ai pas réussi à les factoriser
Ah oui quand même, je savais qu'ils ne donnaient pas la version avec les plus petits résultats mais à ce point... Enfin, au moins tu as eu n=66 bravo !
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