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Niveau terminale
Nombres rationnels PDF LLG
Posté par Wenzio
Salut, je suis un peu perdu avec le 17ème exo du PDF de Louis le Grand (transition TS -> MPSI), voici l'exercice :
a) Montrer qu'il existe un unique réel x tel que :
x5 + x − 1 = 0.
On pourra utiliser une étude de fonctions.
b) On suppose que x est rationnel. On écrit donc x = p/q où p est dans Z, q
dans N* et la fraction p/q irréductible. Montrer que q divise p5. En déduire que q = 1. Montrer ensuite que p divise 1. Obtenir une contradiction et conclure.
J'arrive facilement à faire la a), mais pour la b), j'ai des soucis.
Pour montrer que q divise p5, j'ai fait :
x= p/q
x*q = p
q divise p et donc q divise p5
Q ne peut que valoir 1 car p/q étant irréductible, soit q ne divise pas p, soit q vaut 1.
P = x*q
= x*1
Donc p divise 1. Mais là, j'ai du mal à trouver une contradiction qui pourrait amener à une conclusion, j'ai l'impression d'avoir fait n'importe quoi, j'arrive pas vraiment à faire le lien entre les deux questions.. Merci d'avance
Bonjour ;
Citation :
x*q = p
q divise p
x*q = p
q divise p
Non, cela ne prouve pas que q divise p , car x n'est pas (forcément) un entier, c'est un rationnel
Bonjour.
Citation :
On pourra utiliser une étude de fonctions.
On pourra utiliser une étude de fonctions.
L'équation :
Peut s'écrire :
Ou :
Ou :
Ou :
Ou :
Ou :
Vérification :
J'imagine que Cardan entre en jeu...
Regarde ici : 
J'ai rédigé une solution pas la plus élégante mais la plus rapide que je puisse trouver par cette chaleur
Je ne voyais pas vraiment d'autre moyen de prouver que q divise p5, je m'en doutais que q ne divisait pas p car p/q étant irréductible.. Je vous remercie !
Salut,
Pour prouver que q=1 il y a plus simple que Bézout: le lemme de Gauss.
q|p5 donc q|p*p4 et comme (p,q)=1 on à d'après le lemme de Gauss que q|p4.
En itérant 4 fois, q|1 et donc q=1.
Pour expliquer ce phénomène de manière général, il est facile de prouver que pour tout polynôme de R; si il admet une racine rationnel alors p|an (terme dominant) et q|a0 (terme constant).
Ce qui, si on connaît cette propriété coïncide ici (heureusement)