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Nombres réels

Posté par
posso49 25-02-20 à 19:26

Bonjour, je cherche de l'aide pour la 2eme question (établir) de cet exercice. La 1ere est ok.

Soit un angle donné compris entre 0 et /2.
On pose a_0=tg\theta , b_0=sin\theta , a_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n} et b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_n.
1° Démontrer que a_n=2^ntg\frac{\theta}{2^n}, b_n=2^nsin\frac{\theta }{2^n} et compte tenu de la relation 0<\alpha <\pi /2 \Rightarrow sin\alpha <\alpha <tg\alpha, établir que b_n<b_{n+1}<\theta <a_{n+1}<a_n.
2° Démontrer par récurrence que 2^n>n et établir que a_n-b_n<a_0\frac{\theta ^2}{2^{n+1}}.
En déduire que les deux ensembles {b_n} et {a_n} sont adjacents et définissent un nombre réel (b_n|a_n)=\theta.
3° SI \theta =\pi /4 avec k entier supérieur à 2, démontrer que ka_n et kb_n sont les périmètres des polygones réguliers convexes de 2^nk côtés circonscrit et inscrit à un cercle de diamètre 2R=1. Retrouver ainsi dans ce cas la valeur de   (b_n|a_n).

Pour 2° établir ...
Pour n=0, on a a_0-b_0=tg\theta -sin\theta <tg\theta \frac{\theta ^2}{2} => \frac{1-cos\theta }{2}<\frac{\theta ^2}{4} =>sin\frac{\theta }{2}<\frac{\theta }{2}
Pour n=1, on a a_1-b_1=2(tg\frac{\theta}{2} -sin\frac{\theta}{2}) <tg\theta \frac{\theta ^2}{4} => \frac{1-cos\frac{\theta}{2} }{2}<?



Posté par
lakere : Nombres réels 26-02-20 à 11:49

Bonjour,

2) Pour 0\leq \varphi<\dfrac{\pi}{2}, on peut montrer que:

   \tan\,\dfrac{\varphi}{2} -\sin\,\dfrac{\varphi}{2}\leq \dfrac{1}{4}(\tan\,\varphi -\sin\,\varphi)

  On en déduit que a_{n+1}-b_{n+1}\leq \dfrac{1}{2}\,(a_n-b_n)

Puis récurrence pour établir ...

Posté par
lakere : Nombres réels 26-02-20 à 13:37

Il est fort probable que ce n'est pas la solution attendue: on n'utilise pas 2^n\geq n

  Et l'inégalité (vraie) de 11h49 n'est pas vraiment donnée.

  Si quelqu'un a une bonne idée...

Posté par
posso49re : Nombres réels 26-02-20 à 15:30

Bonjour,
je m'apprètais justement à vous demander comment vous obteniez l'inégalité de 11h49.

Posté par
larrechre : Nombres réels 26-02-20 à 15:58

Bonjour,

a_n-b_n= 2^n sin(\theta/2^n)\dfrac{1-cos(\theta/2^n)}{cos(\theta/2^n)}=2^{n+1}\dfrac{sin(\theta/2^n)sin^2(\theta/2^{n+1})}{cos(\theta/2^n)}

Puis, sin^2(\theta/2^{n+1})\leq... et tan(\theta/2^n)\leq...

mais on n'utilise pas  2^n<n

Posté par
lakere : Nombres réels 26-02-20 à 17:09

Bonjour  larrech,



Je suis passé complétement à côté!

Posté par
larrechre : Nombres réels 26-02-20 à 17:16

Bonjour lake

L'ennui, c'est que j'ai pratiquement tout dit...Encore un coup de ma fougue juvénile...

Posté par
lakere : Nombres réels 26-02-20 à 17:48

Je crois qu'on sait tous les deux que nous ne sommes plus vraiment des perdreaux de l'année

Je crois savoir aussi que posso49  est dans notre camp.

Posté par
larrechre : Nombres réels 26-02-20 à 17:57

Citation :
je crois savoir aussi que posso49  est dans notre camp.
En effet, je n'avais pas remarqué.

Posté par
posso49re : Nombres réels 26-02-20 à 19:17

Effectivement, plus très jeune mais j'aime bien faire un peu de math pour maintenir mes neurones.
Merci Larrech
mais dans la formule ci-dessus, il reste à démontrer2^{n+1}tg\frac{\theta }{2^{n}}<a_0=tg\theta et peut-être que 2^n>n sert

Posté par
larrechre : Nombres réels 26-02-20 à 19:25

Non, en fait

sin^2(\theta/2^{n+1})\leq\dfrac{\theta^2}{2^{2n+2}}   et  par ailleurs  tan(\theta/2^n)\leq tan(\theta)=a_0


D'où en recollant les morceaux,  l'inégalité demandée.

Posté par
posso49re : Nombres réels 26-02-20 à 19:29

non non c'est bon
désolé


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