Bonsoir,

Il est vrai qu'en 3ème, la notion de suites numériques n'est pas encore au programme...
Cette notion n'étant vue qu'en 1ère.

Cependant, la 1ère question reste tout à fait abordable pour un élève de 3ème.

On peut appeler S la somme des entiers de 1 à 100.
S = 1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100.

On peut remarquer d'après l'image 1 que :

S + S = 101 * 100 (on additionne 100 fois le nombre 101)

On en déduit alors rapidement le résultat S trouvé par Guss.

bonsoir,

En effet, il est trop tot pour parler de suite..

Q1 :   Guss a ajouté le premier et le dernier terme = 101
puis le deuxième et l'avant dernier = 101
puis 3 + 98  = 101   etc....

au bout du compte, il a obtenu 100  fois 101  = 10100

mais il a compté 1+100     deux fois (une au début 1 + 100   et une à la fin 100+1), de même pour chaque somme
donc il divise par deux son résultat.
10100 / 2 = 5050

Q2 : qu'en pensez vous ?

Il me semblait qu'il était tôt pour aborder cela en 3ème ...

La question 1, je m'en serais sorti je pense, même si vos réponses sont sympas

Les questions d'après, j'aimerais bien avoir votre avis et raisonnement si possible ...

si tu savais répondre à la question 1, tu aurais dû le préciser..

perso, j'aimerais bien que tu montres aussi ton avis sur la question 2..

finalement le calcul en question 1  a donné
100 * 101 / 2

il suffit de l'écrire en utilisant n ..

n(n-1)/2 ? Mais j'hésite et surtout, comment vous l'expliquerez à l'enfant de manière claire ?

n+1 pardon

quand n = 100, on écrit    100 * 101 / 2
et 101  =  100 +1

d'ou   100 (100+1)/ 2     devient   n (n+1)/2  quand on remplace 100 par n

on vérifie facilement la formule avec une autre valeur de n..  n=10 par exemple.

Q3 : calculer les 5 premiers ne devrait pas poser de problème
n'est ce pas ?

Bonjour,
Le meilleur moyen de comprendre cette somme est
d'observer le rectangle formé par les carrés verts et
les carrés jaunes.
Ceci se poursuit indéfiniment....

Bonjour.

On peut imaginer les nombres triangulaires comme le nombre de jetons empilés sous forme d'une pyramide. A chaque étape on ajoute une rangée oblique à la pyramide précédente :

Avez-vous des jetons de jeu de dames pour une démonstration ?

On peut écrire :

attention n'est pas un nombre triangulaire mais il est là pour aider à comprendre.










...




On réorganise les jetons :



On complète avec le même nombre de jetons de l'autre couleur pour former un rectangle :



De la figure, on observe que :











...



D'où :

Bonjour,

pour la petite histoire, le double du nombre triangulaire, qui se "range" ainsi en un rectangle "presque carré" n × (n+1), est appelé
nombre oblong, ou nombre pronique (ou nombre hétéromécique d'après Wikipedia, jamais entendu ce nom là)
le terme le plus "couramment" () utilisé est "nombre pronique".

ces "nombres figuratifs", qui peuvent être matérialisés par des empilements de pions ou de billes, sont, parmi les plus courants :
les nombres triangulaires (dont on parle ici)
les nombres carrés (alias simplement "carrés")
les nombres pentagonaux (utilisés dans un certain théorème sur les partitions de nombres entiers)
les nombres hexagonaux etc
les nombres cubiques (alias "cubes")
pyramidaux, tétraédriques etc

Merci pour toutes vos réponses, je sort de l'entretien avec mon joueur et je pense le lui avoir expliquer bien correctement,

Cependant, j'ai dit que je traiterais avec lui la dernière question demain car j'ai encore des doutes, à votre avis, qu'attend la professeur de la dernière question ?

la question 4 c'est la suite de la question 3

3éme question : Calculer les 5 premiers nombres triangulaires, les ajouter deux à deux.
c'est à dire
T1 + T2 = ?
T2 + T3 = ?
T3 + T4 = ?
T4 + T5 = ?

4ème question : Quelle conjoncture peut-on faire ?
énoncé mal recopié, ne pas confondre
* "conjoncture (de "jonct", joindre,
conjoncture : ce qui est mis ensemble pour former l'environnement, économique par exemple)
et
* conjecture (de "jectare" "jeter" une hypothèse, comme dans "alea jacta est", les dés sont jetés)

c'est à dire qu'est-ce qu'on observe lors de la question 3 ?? quelle hypothèse peut on émettre (jeter) à partir de ces observations ?
c'est cela une conjecture ; observer quelque chose et dire "il me semble que etc"

on demande ensuite de la prouver :

en calculant "en littéral" Tn + T(n+1) = n(n+1)/2 + (n+1)(n+2)/2 = ...

-re,

tu ne dis pas ce que vous avez écrit pour la Q3..

A la lecture de ce topic, il me semble que tu ne donnes jamais ton avis, tu attends plutôt les réponses... Je me trompe ?

qu'as tu trouvé pour les 5 premiers termes ?


T1 = 1
T2 = 3
T3 = 6
etc..

en les ajoutant deux à deux, on trouve  une suite de carrés..
T1 + T2  = 4 = 2²
T2+T3 = 9 =  3²
etc..

donc on serait amené à dire que T_n + T_n+1  =  (n+1)²

si T_n =  (n(n+1))/2
alors T_n+1  =( (n+1)(n+2) )/2
que donne T_n + T_n+1 ?

Alors, il est bien marqué conjecture dans l'énoncé officiel de la professeur

Dans la question n°3, nous avons juste calculer T1 à T5, j'ai mal compris la question et je rectifierais demain en les ajoutant 2 à 2.

Et, oui en effet j'attends les réponses car ce n'est pas mon métier ni dans mon intérêt de chercher et de creuser par manque de temps surement ... Mais mon intérêt est que je puisse rapidement intégrer avec vos réflexions de "pros des maths" le but recherché des questions afin que je puisse à mon tour correctement l'expliquer... voyez vous ?

J'ai finalement compris le sens de la suite des carrés mais peut-on pas conclure par Tn + Tn+1  =  (n+1)²  ? Je comprends pas où vous voulez en venir avec votre paragraphe après ?

Néanmoins, je vous remercie de prendre le temps de vous pencher sur mon problème, bien que  je soupçonne surement un côté plaisir non ?

la conjecture c'est  : T_n + T_n+1  =  (n+1)²

pour la prouver, on calcule T_n + T_n+1

T_n =  (n(n+1))/2
T_n+1  =( (n+1)(n+2) )/2
que donne T_n + T_n+1 ?

Je vais peut-être dire une aberration et je m'en excuse d'avance :

(n(2n+1)(n+2))/2 ?

conjoncture/conjecture : l'erreur est trop fréquente
les profs de maths ne sont pas mieux lotis que les autres ni à l'abri de fautes de frappe ou de lapsus etc


pour prouver quelque chose ce n'est pas en regardant des valeurs et en affirmant "bof c'est pareil pour les autres" qu'on peut le faire
c'est justement la différence entre conjecture et preuve

en observant les valeurs obtenues on peut conjecturer que Tn+T(n+1) = (n+1)² :
on a l'impression que c'est vrai tout le temps, mais en fait on n'en sait rien, on ne sait que c'est vrai que uniquement jusqu'à T5 et c'est tout.

pour pouvoir affirmer que c'est toujours vrai, il faut une preuve formelle "quel que soit n", donc avec un calcul littéral (avec n écrit "n")
il faut factoriser Tn + T_n+1 = n(n+1)/2 + (n+1)(n+2)/2 = (n+1)[ ... ]
pour en déduire le résultat formellement = (n+1)²

ou développer les deux pour voir si c'est "formellement" égal ou pas)

PS : ton calcul fait entre temps est faux sans doute de la confusion entre addition et multiplication

Bonjour.

Dans le même style...

Somme de 2 nombres triangulaires consécutifs.

Rappel :

(attention n'est pas un nombre triangulaire).






On pose :









...

Voir aussi le rectangle issu des deux triangles  13/12 8h37

Sinon, comme :



Et :



Alors :