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norme dans R²

Posté par
mauricette 06-05-05 à 18:39

bonjour
j'aurai uen question

dans R² est ce que

||(x,y)|| = |x| + |y| ?

ou bien est ce que

||(x,y)|| = (x² + y²) ??

merci bcp

Posté par re : norme dans R² 06-05-05 à 19:00

Bonsoir Mauricette,

les deux expressions proposés sont des normes

en effet elle vérifie toutes les deux la définition d'une norme :

la deuxième est la norme euclidienne.

La première vérifie :

$3$\rm ||(x,y)||=0 <=> |x|+|y|=0 <=> |x|=0 et |y|=0 <=> (x;y)=(0,0)$ car $|.|$ est une norme sur R

$3$\rm ||m(x,y)||=||(mx;my)||=|mx|+|my|=|m||x|+|m||y|$ car $|.|$ norme sur R
$3$\rm =|m|(|x|+|y|)=|m|.||(x;y)||$

$3$\rm ||(x;y)+(z;t)||=||(x+z;y+t)||=|x+z|+|y+t|\le |x|+|y|+|z|+|t|$ car $|.|$ norme sur R
$3$\rm\le ||(x;y)||+||z;t||$

Salut

Posté par re : norme dans R² 06-05-05 à 19:45

merciiiii

Posté par re : norme dans R² 06-05-05 à 19:51

En fait ce sont des normes classiques sur $4$\rm \mathbb{R}^n$ ,

$4$\rm ||(x_1;...;x_n)||_1=\Bigsum_{k=1}^{k=n}|x_k|$ norme-un

$4$\rm ||(x_1;...;x_n)||_2=\sqrt{\Bigsum_{k=1}^{k=n}x_k^2}$ norme-deux (norme euclidienne)

$4$\rm ||(x_1;...;x_n)||_{\infty}=max_{i\in\mathbb{N}_n}|x_i|$ norme-sup (dite aussi norme infinie)

salut

Posté par re : norme dans R² 06-05-05 à 20:48

Exercice:
Montrer qu'une seule est une norme issue d'un produit scalaire...

Posté par re : norme dans R² 06-05-05 à 21:02

ben la seule issue du produit scalaire c'est
(x² + y²)

mais le montrer ...

u=(x,y)
||u||² = <u,u> = x² + y² ...

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