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Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1]

Posté par
H_aldnoer 06-05-07 à 12:45

Bonjour,

je bloque un petit peu sur cette exercice :

Soit E=C([0,1]) muni de la norme ||f||_{\infty}=max\{|f(x)|\,,x\in [0,1]\}.
\forall f\in E, on définit :
Tf(x)=\frac{1}{2}\Bigint_{0}^xf(t)dt avec x\in[0,1].

Montrer que T est linéaire et continue sur E.
Calculer sa norme.

Donc la linéarité de l'intégrale nous donne que T linéaire.
Pour la continuité je sais pas trop. On a f continue sur [0,1] donc son intégrale est continue ?

Ensuite la norme :
||Tf(x)||_{\infty}=||\frac{1}{2}\Bigint_{0}^xf(t)dt||_{\infty}\le \frac{1}{2}||f||_{\infty}(x-0)=\frac{||f||_{\infty}x}{2}

Soit ||Tf(x)||_{\infty}\le\frac{||f||_{\infty}}{2}
Est-ce une bonne approche ou pas ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 12:52

re H_aldnoer

tout est bon !
Pour la continuité de Tf, c'est correct !
(entre parenthèse, on a mieux : comme f est continue, alors Tf est de classe \Large{C^{1}}).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 12:54

ok!
Mais pour la norme, on me demande de trouver une égalité pas une inégalité non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:04

ah, oui c'est vrai ! je n'avais pas vu.
L'idée est de considérer une fonction f pour laquelle il y a égalité (attention, ça n'existe pas toujours).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:06

Donc soit f telle que ||Tf(x)||_{\infty}=\frac{||f||_{\infty}}{2} ?
Que faut-il faire ?
Montrer l'existence dans certain cas ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:14

comment ça dans certains cas ?

Il faut exhiber une fonction pour laquelle c'est vrai.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:20

Si je comprend bien :
on prend par exemple f(t)=1 donc ||Tf(x)||_{\infty}=||\frac{x}{2}||_{\infty}=\frac{1}{2}
et \frac{||f||_{\infty}}{2}=\frac{1}{2}

?

Posté par
kaiser Moderateurre : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:26

oui !

Kaiser

Posté par
Roulianere : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:28

Bonjour,

Je me permets de poser une question : je vois pas pourquoi si on exhibe une fonction pour laquelle c'est vrai, alors ça le sera tout le temps ?
Il peut très bien y avoir des fonctions pour lesquelles on a ||T(f)|| < 1/2 non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:29

Mais je n'ai pas dit ça !
on recherche le sup !

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:30

Ah vrai dire je sais pas pourquoi ça suffit à montrer qu'effectivment ||Tf(x)||_{\infty}=\frac{||f||_{\infty}}{2}

Posté par
Roulianere : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:30

Mais on a ||T(f)|| <= 1/2 et on veut bien montrer qu'il y a égalité ?

Posté par
H_aldnoerre : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:31

ma remarque rejoint celle de Rouliane

Posté par
Roulianere : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:31

oublie ma question, effectivement on recherche le sup je dis n'importe quoi

Posté par
Roulianere : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:32

H_aldnoer, on recherhce le sup qui sera ici 1/2 vu qu'on a exhibé une focntion pour laquelle la ||T(f)||=1/2 !

Posté par
kaiser Moderateurre : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:33

non, on a \Large{||T(f)||_{\infty}\leq \frac{1}{2}||f||_{\infty}}

donc la norme de T est inférieur à 1/2.
ON a prouvé qu'il existe f telle que \Large{||T(f)||_{\infty}= \frac{1}{2}||f||_{\infty}}

donc la norme de f est exactement 1/2.

Kaiser

Posté par
Roulianere : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:34

la norme de T non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:34

oui effectivement !

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:38

Je confond peut-être :
||T||_{\infty}\neq||T(f)||_{\infty}\le||T||_{\infty}.||f||_{\infty}

?

Posté par
H_aldnoerre : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:57

Est-ce que la norme d'une application linéaire c'est :
||T||_{\infty}=sup \frac{||T(f)||_{\infty}}{||f||_{\infty}}

Posté par
Roulianere : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 13:58

Oui, ||T|| est différent de ||T(f)||

Posté par
H_aldnoerre : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 14:01

Donc comme :
||T(f)||_{\infty}\le \frac{||f||_{\infty}}{2} on a \frac{||T(f)||_{\infty}}{||f||_{\infty}}\le \frac{1}{2}.

Or il existe une fonction telle que \frac{||T(f)||_{\infty}}{||f||_{\infty}}=\frac{1}{2} donc sup \frac{||T(f)||_{\infty}}{||f||_{\infty}}=\frac{1}{2} soit ||T||_{\infty}=\frac{1}{2}

Posté par
Roulianere : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 14:04

voilà c'est ça.

Posté par
H_aldnoerre : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 14:05

Merci beaucoup!

Posté par
Roulianere : Norme sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] 06-05-07 à 14:10

de rien, c'est surtout kaiser qui t'a aidé


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