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Norme triple
Bonsoir !
Soit n
* et soit AMn(
). On note 
A l'endomorphisme de n envoyant un vecteur colonne X sur le vecteur colonne AX. Calculer la norme triple de A dans les cas suivants
1) A: (n,|| ||
)
(n,|| ||)
2)A: (n,|| ||1)(n,|| ||)
3) A: (n,|| ||1)(n,|| ||1)
Concernant la 1)
Déjà j'ai montré que A est uniformément continue. Comme elle est linéaire alors A est bornée sur la boule unité de n donc |||A||| existe
On pose B={||A(X)||, ||X||
1}
On a |||A|||=sup(B)
X B(0,1), ||AX||= |ak1x1+...+aknxn| avec un certain k{1,...,n}.
Par inégalité triangulaire et que ||X||1, il vient que : XB(0,1), ||A(X)|| ak1+...+akn:=M
Donc |||A|||M
D'autre part M=||A(1)|| avec 1=t(1,...,1)
Ainsi M|||A|||.
On a donc, |||A|||=M
Tant que tu ne dis pas comment tu as choisi tu n'as rien dit !
Si tu dois calculer les composantes de
et décider laquelle est la plus grande.
Je verrais plutôt : et tu montres que le maximum des sommes
convient (c-à-d majore et est atteint).
Pour la norme 1, dans les deux espaces, même démarche : tu devrais voir apparaître le maximum des sommes sur les colonnes.
Le cas où on change de normes entre les espaces de départ et d'arrivée est assez inhabituel, je ne connais pas le résultat. Ce qui ne veut pas dire que c'est difficile.
Bonsoir!
||A(X)||=max{|a11x1+.....+a1nxn|,......,|an1x1+......+annxn|
Donc il existe k {1,...,n} / ||A(X)||=|ak1x1+.....+aknxn|
Ainsi on montre que ||A(X)|||ak1|+......+|akn|=M
Toutefois pourquoi M est atteint ?
Où vois-tu la majoration par la somme des ?
Que fais-tu des ?
Je t'ai donné la méthode à suivre : majore les par
puis majore
.
Ensuite, tu prends la plus grande des sommes sur les lignes.
est atteint par un choix convenable de
. Je te laisse chercher.
La réponse serait :
.............................................
Quand on utilise la norme 1 dans chaque espace, tu considères (sommes sur les colonnes).
Tu prends la plus grande de ces sommes, disons et tu montres que
.
De nouveau tu choisis un qui donne l'égalité !
Pour le cas il est assez facile de montrer que :
où
reste alors à voir que est atteinte pour un certain
de la sphère unité de
sauf erreur de ma part bien entendu
Bonsoir !
M:=max1inSomme|aik| pour k allant de 1 à n
On a montré que |||A|||M
Montrons qu'il existe XBn(0,1) tq M=||A||
On sait que Xn,
||A(X)||= max1in |Sommeaikxk|
On prend X=t(x1,...,xn)n telle que :
k{1,...,n}, xk=-1 si aik<0 et 1 sinon.
Donc (i,k){1,...,n}2, aikxk
0 . Donc (i,k){1,...,n}2, aik=|aik|
De plus, k{1,...,n},xk=1
Il vient donc que : ||A(X)||=max1in|Somme|aikxk|=max1inSomme|aikxk|=...=M
Donc M est atteint donc M|||A|||.
D'où |||A|||=M.
tu devrais te relire !
Tu supposes qu'il existe des coefficients négatifs et la ligne d'après tu affirmes que chaque coefficient est égal à sa valeur absolue...
idem, tu prends des égaux à
pour dire, deux lignes plus loin, que
...
Ta définition des est incohérente : si
et
, que vaut alors
?
Tu devrais :
. commencer par choisir un entier correspondant au maximum des sommes sur les lignes
. choisir ensuite un vecteur colonne en utilisant seulement ce qui se passe sur cette ligne.
Le choix que tu proposes semble intéressant (on pourrait aussi dire ,
si
)
. remarquer que
. continuer en écrivant correctement
Soit N la norme x 
k(|xk|) sur E = n et f L(E) ayant A pour matrice dans la base canonique (e1,....,en) de E ..
Pour tout k on a : N(ek) = 1 et N(f(ek) = j |A(j,k)| (ek) = j A(j,k).ej .
On en déduit donc que |||f||| Maxk( j |A(j,k)| ) , que je note p(A) .
Avec un peu de calcul on montre que pour tout x E on a : N(f(x)) p(A).N(x) de sort que p(A) = |||f||| .
L'antépénultième ligne est à remplacer par
Pour tout k on a : N(f(ek) = j |A(j,k)| puisque f(ek )= j A(j,k).ej
Bonjour, je pense avoir compris
Reprenons depuis le début.
On note B={Xn/||X||1}
Soit XB. X=t(x1,.....,xn)
Y=t(y1,.....,yn)=A(X)=AX=t(Somme a1jxj,.....,Somme anjxj).
On sait que : i{1,...,n}, |Somme aijxj|Somme |aij|
Somme |apj|=M avec M=max1inSomme |aij|
Donc ||A(X)||M.
Donc MB, ||A(X)||.
Donc |||A|||M.
On choisit Xn tel que j{1,...,n}, xj=-1 si apj<0 et xj=1 si apj0.
j{1,...,n}, |xj|=1. Donc XB.
j{1,...,n}, apjxj=|apjxj|.
On a donc A(X)=t(Somme a1jxj,......,Somme ap-1jxj,Somme|apjxj|,Somme ap+1jxj,......,Somme anjxj)
Or i{1,...,n}, |Somme aijxj|Somme |aijxj|=Somme |aij||xj|=Somme |aij|M.
Donc ||A(X)||=M. Donc M=|||A|||
Vous pouvez me dire si c'est juste ?
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