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Normes

Posté par
Tiantio
23-01-22 à 17:27

Bonjour à tous

Exo : montrer N_{1} (x) = \sum_{k=1}^{n}{|x_{k}|}  est une norme.

N_{1}(x) = 0 \Leftrightarrow \sum_{k =1}^{n}{|x_{k}|} = 0 \Leftrightarrow x = 0  pour tout k \in \left\{1,...,n \right\}
N_{1}(\lambda x) = \sum_{k=1}^{n}{|\lambda x_{k}|} = |\lambda | \sum_{k=1}^{n}{| x_{k}|}

N_{1}(x +y) \leq N_{1}(x) + N_{1}(y)

|x+y| \leq |x| + |y| \Leftrightarrow \sum_{k =1}^{n}{|x+y| } \leq \sum_{k =1}^{n}{(|x| + |y|) } CDFD

Je voudrais savoir si mon raisonnement est bon pour la troisième condition, merci d'avance pour votre réponse

Posté par
lafol Moderateur
re : Normes 23-01-22 à 17:31

Bonjour
la rédaction de la première est déjà à revoir ... c'est quoi ce "x=0 pour tout k entre 1 et n" ?

Posté par
Tiantio
re : Normes 23-01-22 à 17:38

je voudrais x_{k}

Posté par
Tiantio
re : Normes 23-01-22 à 17:38

*dire

Posté par
lafol Moderateur
re : Normes 23-01-22 à 17:47

alors il faut terminer (et peut-être un peu justifier cette phrase)

Posté par
carpediem
re : Normes 23-01-22 à 17:52

salut

je dirai même plus : tout est à revoir car bien incomplet ...

Posté par
lafol Moderateur
re : Normes 23-01-22 à 17:53

on est bien d'accord je commençais par la première condition, mais je comptais bien continuer avec les autres une fois la première correctement traitée

Posté par
Tiantio
re : Normes 23-01-22 à 18:07

D'accord.

pour la première on  a x_{k} = 0  pour tout k \in \left\{1,...,n \right\} car  N_{1}(x)
est la somme de termes positifs. Réciproquement, si x = 0 il est clair que  N_{1}(x) = 0


Posté par
lafol Moderateur
re : Normes 23-01-22 à 18:17

ok, tu as justifié que tous les x_k sont nuls
reste à conclure ....

Posté par
Tiantio
re : Normes 23-01-22 à 18:21

Que N_{1}(x) = 0 \Leftrightarrow x_{k} = 0   k \in \left\{1,...,n \right\}

Posté par
lafol Moderateur
re : Normes 23-01-22 à 18:22

ce n'est pas la conclusion attendue ....

Posté par
Tiantio
re : Normes 23-01-22 à 18:32

je ne comprends

Posté par
lafol Moderateur
re : Normes 23-01-22 à 18:36

relis la définition d'une norme ....

Posté par
Tiantio
re : Normes 23-01-22 à 18:40

N1(x) est une norme.

Posté par
lafol Moderateur
re : Normes 23-01-22 à 18:48

non, N1(x) n'est pas une norme, c'est la norme de x, sous réserve que tu aies fini de démontrer que N1 est une norme, on en est encore loin

Posté par
Tiantio
re : Normes 23-01-22 à 19:10

d'accord mais franchement je ne comprends pas trop ce que vous voudriez dire madame
je sais que pour montrer qu'une application est une norme, on doit vérifier ces 3 conditions.

Posté par
lafol Moderateur
re : Normes 23-01-22 à 23:01

alors termine de vérifier la première !

Posté par
Tiantio
re : Normes 24-01-22 à 17:34

D'accord.

Posté par
Tiantio
re : Normes 24-01-22 à 17:35

Merci

Posté par
Panter Correcteur
re : Normes 26-01-22 à 12:21

Salut Tiantio,

J'espère que tu sais qu'on travaille sur E = K^n \text{ avec }n \in \mathbb{N} - \lbrace 0,1\rbrace \enskip\text{ et } (K = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C})

Et qu'on a défini : N_{1} (x) = \sum_{k=1}^{n}{|x_{k}|}  pour x = (x_{1},...,x_{n}) \in K^n.

Condition 1) Toi tu as trouvé :

Tiantio @ 23-01-2022 à 18:07

D'accord.
pour la première on a x_{k} = 0 pour tout k \in \left\{1,...,n \right\} car N_{1}(x)
est la somme de termes positifs.

C'est bien...

Ce que Lafol essaye de t'expliquer c'est qu'il faut conclure par :

\enskip \cdots \enskip\\\iff x=(x_{1},...,x_{n})=(0,\cdots,0)=0_{K^n}

(équivalence directement, pas la peine de montrer la réciproque à part)

Et la condition 1 est vérifiée

Poursuis avec les conditions restantes...


(Sauf erreur de ma part)

Posté par
Tiantio
re : Normes 26-01-22 à 18:43

Merci à vous tous, nous avons corrigé en td !



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