Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Normes équivalentes

Posté par
Tiantio
17-02-22 à 11:54

Bonjour à toutes et à tous

Exo : soit E = IR^{n}. On considère sur E les normes N_{1} et  N_{2} définies par N_{1}(x) = \sum_{k=1}^{n}{|x_{k}|}  et  N_{2}(x) = (\sum_{k=1}^{n}{|x_{k}|^{2}} )^{\frac{1}{2}}

Montrer que N_{1} et  N_{2}  sont équivalentes

voici ce que j'aie fait : il s'agit de montrer qu'il existe C_{1},C_{2}  strictement positifs tels que C_{1} N_{1}(x) \leq N_{2}(x) \leq C_{2} N_{1}(x)  pour tout x \in E  
ou inversement
j'ai pu montrer que N_{1}(x) \leq \sqrt{n}N_{2}(x), je ne parviens pas minorer [tex]N_{1}(x) par [tex]N_{2}(x)

Merci pour vos suggestions

Posté par
Rintaro
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 12:04

Bonjour,

tu peux penser à la convexité et l'inégalité de Jensen pour une fonction bien choisie

Posté par
Tiantio
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 12:18

je suis désolé mais j'ai pas vu l'inégalité de Jensen en cours, voudriez-vous, svp, m'expliquer madame ?

Posté par
bernardo314
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 13:19

Bonjour,

Une idée est d'intercaler  le maximum des valeurs absolues des  xk.

Posté par
carpediem
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 13:47

salut

il suffit de remarquer que \forall k  :  |x_k| \le \sum_1^n |x_i|

donc |x_k|^2 = |x_k| \times |x_k| \le ...

Posté par
Rintaro
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 13:57

Tiantio je suis un homme

il y a plus simple en reprenant l'idée de bernardo314 si tu remarques que la norme 2 provient d'un produit scalaire, on peut appliquer Cauchy-Schwarz sur deux vecteurs de façon à faire apparaître de la valeur absolue

Posté par
Tiantio
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 14:17

je ne sais pas si c'est de ça que vous parliez  N_{2}(x) \leq \sqrt{n}N_{\infty }(x), N_{\infty }(x)\leq N_{1}(x)

Posté par
carpediem
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 14:19

ce que j'ai proposé donne immédiatement le résultat ...

Posté par
Rintaro
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 14:29

carpediem je ne comprends pas pourquoi tu interviens alors que bernardo314 et moi-même avions proposés des pistes, tu aurais pu attendre que Tiantio tente nos méthodes avant de proposer la tienne par exemple, il me semble que c'est d'autant plus dans l'esprit du forum

je ne reviendrai pas sur ce post, j'abandonne, bonne journée

Posté par
Tiantio
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 15:09

|x_{k}|^{2} \leq \sum_{k=1}^{n}{|x_{k}|^{2}}  mais je comprends pas toujours je voudrais minoré N1 par N2

Posté par
carpediem
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 15:13

carpediem @ 17-02-2022 à 13:47

il suffit de remarquer que \forall k  :  |x_k| \le \sum_1^n |x_i|

donc |x_k|^2 = |x_k| \times |x_k| \le \red |x_k| \times \sum_1^n |x_i|

Posté par
Tiantio
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 15:22

j'ai compris ça mais j'arrive pas à faire le lien :/

Posté par
carpediem
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 18:06

donc [N_2(x)]^2 = \sum_1^n |x_k|^2 \le \sum_{k = 1}^n \left( |x_k| \sum_{i = 1}^n |x_i| \right) = ...

Posté par
Tiantio
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 18:22

\sum_{k=1}^{n}({|x|_{k}\sum_{i=1}^{n}{|x_{i}|}} ) = n \sum_{k=1}^{n}{|x_{k}|} \sum_{i=1}^{n}{|x_{i}|}

Posté par
carpediem
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 18:26

faux ...

qu'est-ce que par définition \sum_1^n |x_i|  ?

Posté par
Tiantio
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 18:31

\sum_{i=1}^{n}{|x|_{i}} = |x|_{1}+...+|x|_{n}

Posté par
carpediem
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 18:33

relis ton énoncé ...

Posté par
Tiantio
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 18:34

ç a donne, je pense (|x|_{1}+...+ |x|_{n}) \sum_{k=1}^{n}{|x_{k}|}

Posté par
Tiantio
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 18:35

Mince... c'est N1(x)

Posté par
Tiantio
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 18:38

N_{1}(x) \sum_{k=1}^{n}{|x_{k}|}

Posté par
carpediem
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 19:08

conclusion ?

carpediem @ 17-02-2022 à 18:06

donc [N_2(x)]^2 = \sum_1^n |x_k|^2 \le \sum_{k = 1}^n \left( |x_k| \sum_{i = 1}^n |x_i| \right) = ...

Posté par
Tiantio
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 19:15

conclusion : N_{2}(x) \leq N_{1}(x)

Merci bien pour votre suggestion

Posté par
carpediem
re : Normes équivalentes 17-02-22 à 19:35

de rien ..

et tu remarqueras qu'on ne peut pas faire mieux en prenant x = (1, 0, 0, ..., 0)

Posté par
malou Webmaster
re : Normes équivalentes 19-02-22 à 14:48

Bonjour à tous
un petit rappel qui ne me semble pas inutile

Citation :
Dans la mesure du possible (c'est à dire sauf abandon manifeste ou erreur), laisser l'aidant qui a pris le sujet en mains mener son aide comme il l'entend. Cela est non seulement une question de politesse, mais également une manière de ne pas perturber le demandeur.


et là je vois à 13h47 une 3e main alors que le sujet n'était pas du tout abandonné, on attendait simplement que le demandeur revienne sur ce qui avait déjà été proposé...

Merci d'en tenir compte carpediem.
Inutile de te justifier. Je sais que tu sais faire.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !