Pour montrer qu'elles ne sont pas équivalentes, on pourrait essayer de construire une suite de polynômes dont la norme 1 tend vers +l'infini et done la norme 2 est bornée.

Bonjour
Prenez la suite P_n(X)=Xⁿ et regardez les suites N₁(P_n) et
N₂(P_n).

Salut Romain

Un petit exo de Centrale pour se détendre ?

Comme on n'est pas en dimension finie, il y a de grandes chances pour qu'elles ne soient pas équivalentes.
Dans ton cours, tu as sûrement dû voir des techniques pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes (en utilisant des suites de polynômes bien choisies).

Kaiser

P.S : si ce n'est pas trop indiscret,que comptes-tu passer comme concours ?

Bon ben j'arrive trop tard !
Salut Camélia et Stokastik !

Bon ba merci à vous 3 pour vos réponses si rapide !

Donc en suivant l'indication de Camelia. D'après mon cours, si je trouve une suite (P(n)) qui converge vers 0 pour N₁ et qui ne converge pas vers 0 pour N₂ alors c'est gagné.

Prenons la suite de terme générale P_n(X) = Xⁿ

alors on a :

N₁(Xⁿ) = 1/(n+1)  Converge vers 0

N₂(Xⁿ) = (3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹)/(n+1)  converge vers l'infini

Donc c'est ok !!

Donc si j'ai bien compris, non seulement elles ne sont pas équivalentes, mais en plus on ne peut pas du tout les comparer ?

PS : Kaiser : ENS (mais j'ai pas trop d'espoir) - Mines - central - CCP

Il y a un autre exercice sur les normes qui me pose problème ... je le tappe ici où j'ouvre un autre topic ?

Merci encore !

" converge vers l'infini "

pas terrible comme rédaction ...

C'est bien ça. En fait, s'il s'agissait de toutes les fonctions continues, je suis presque sûre que l'on ne peut pas les comparer. S'agissant de polynômes il n'est pas exclu qu'il existe une constante c telle que N₁cN₂.
Un bon conseil, surtout si tu veux passer des concours: ne réponds jamais à une question pas posée!

Ok ça marche, merci Camelia

Je soumet un votre attention mon 2ème et dernier problème :

Exercice :

E est le R-ev des applications continues de [0,1] dans R . On définit sur la E la norme N tq :



1°) Vérifier que N est bien une norme et là comparer à la norme infinie.

Alors : Soit f élément de E . Quelque soit t dans [0,1] ,

donc :



C'est bon ?

2°) Trouver une suite de E convergente pour N et pas pour la norme infinie. Qu'en déduit-on ?

En fait, je n'arrive pas à trouver cette suite ...

Merci d'avance

Bonjour,

t'en as fait quoi de e^t?

euh presque bon !

on a plutot

N(f) <= e* ||f||     (exp t ce majore par e)



2) l'exemple le plus simple est a mon avi x^n :

||x^n|| =1

et N(x^n) -> 0 (a justifié, par une majoration simple : exp(t) < e)


on en deduit evidement que les normes ne sont pas equivalentes

Attention! sur [0,1] on a 1e^te.

Pour le contrexemple, e^-ttⁿ devrait marcher.

Bonjour Cauchy

voila comment j'ai procédé :

pour tout t dans [0,1] exp(t) <= 1

donc :

exp(t).|f(t)| <= |f(t)|

et en sommant de 0 à 1 :



Ca marche ?

Oulala !!!  

Enormissime anerie

Si je sors ce genre de truc le jour du concours, c'est fini pour moi ^^

Merci pour la suite !

Comme le dit Camelia ,attention e^t<=e pas à 1.

D'ailleurs on a mieux que N(f)<=e||f|| en integrant e^t on a N(f)<=(e-1)||f||.

Merci de m'avoir répondu Romain !
De toutes façons, qui ne tente rien n'a rien !

Exact Kaiser ! Mais il va falloir bosser !! encore et encore !

mais bon, j'ai signé !

par contre, Cauchy, je ne comprend pas comment tu obtiens  N(f)<=(e-1)||f||

Peux-tu développer s'il te plait ? Tu fais une intégration par partie en intégrant le exp(t) ?

Merci à tous

Je majore |f(t)| par sa norme je la sors de l'integrale et je calcule l'intégrale de e^t de 0 à 1. Tu peux le faire car e^t est une fonction positive.

Ok merci beaucoup !!

Merci à vous tous, j'ai tout compris :D

Bonne journée

Salut romain

Salut Kevin !!

Salut lyonnais, question hors sujet: est ce que tu as les solutions du problème de physique sur lequel nous nous étions penché il y'a quelque temps? Peux tu me communiquer les solutions des questions que nous avions traité?

Merci!

Oui désolé Laurierie , j'avais oublié ...

Je t'envoi ça tout de suite par mail

Romain