Bonjour à tous besoin d'aide svp
Voici un exercice qui me pose quelques soucis
Soit E l'espace vectoriel des suites complexes nulles à partir d'un certain rang. Il est question de montrer qu'il n'existe pas sur E une norme pour laquelle E est un espace de Banach
J'ai déjà essayé de bidouiller tout un tas de raisonnement mais je n'arrive pas au résultat souhaité
Besoin d'aide svp
Bonjour,
suppose qu'il existe une telle norme. Un espace de Banach, ça a de bonnes propriétés, notamment c'est un espace de Baire. Essaye de décomposer ton espace en une union (dénombrable) de fermés.
Bonjour
Je propose une autre piste si on ne souhaite pas utiliser les propriétés des espaces de Baire.
On pourra utiliser le fait qu'un espace vectoriel normé est complet si et seulement si toute série normalement convergente est convergente.
Dans le cadre des suites presque nulles, on doit pouvoir extraire de telles séries assez simplement.
La lecture du PDF joint te sera très utile.
PDF - 327 Ko
En particulier, je remets ici intégralement la généralisation de ton problème :
1.3.18 EXEMPLE .
Un espace de Banach est de dimension finie ou non dénombrable.
Autrement dit un espace vectoriel normé E qui admet une base infinie dénombrable n'est pas complet.
Soit en effet le sous-espace de E engendré par les n premiers vecteurs de la base.
Alors est fermé dans E (car de dimension finie, donc complet) et .
D'après le théorème de Baire, il existe tel que est d'intérieur non vide,
il contient donc une boule et par translation, la boule donc l'espace entier par homothétie.
Alors serait de dimension finie.
Si Fno = E alors on a une absurdité vu que les Fn sont distincts deux à deux. Mais je ne vois toujours pas comment conclure que l'espace n'admet pas de norme faisant de lui un Banach
Et je pense qu'on doit utiliser le théorème de Baire au lieu des séries car il est demandé d'énoncer celui-ci avant cette question.
Tu dis que E, dont tu connais explicitement une base qui est dénombrable, est la réunion de ses droites vectorielles engendrées par chacun des éléments de la base.
Or chaque droite est d'intérieur vide donc …..
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