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Niveau Master Maths
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Normes, Espace de Banach

Posté par
audinaudin
29-11-22 à 05:29

Bonjour à tous besoin d'aide svp
Voici un exercice qui me pose quelques soucis

Soit E l'espace vectoriel des suites complexes nulles à partir d'un certain rang. Il est question de montrer qu'il n'existe pas sur E une norme pour laquelle E est un espace de Banach

J'ai déjà essayé de bidouiller tout un tas de raisonnement mais je n'arrive pas au résultat souhaité

Besoin d'aide svp

Posté par
Rintaro
re : Normes, Espace de Banach 29-11-22 à 09:02

Bonjour,

suppose qu'il existe une telle norme. Un espace de Banach, ça a de bonnes propriétés, notamment c'est un espace de Baire. Essaye de décomposer ton espace en une union (dénombrable) de fermés.

Posté par
jsvdb
re : Normes, Espace de Banach 29-11-22 à 23:32

Bonjour

Je propose une autre piste si on ne souhaite pas utiliser les propriétés des espaces de Baire.

On pourra utiliser le fait qu'un espace vectoriel normé est complet si et seulement si toute série normalement convergente est convergente.

Dans le cadre des suites presque nulles, on doit pouvoir extraire de telles séries assez simplement.

Posté par
jsvdb
re : Normes, Espace de Banach 30-11-22 à 01:48

La lecture du PDF joint te sera très utile.

pdf
PDF - 327 Ko

Posté par
jsvdb
re : Normes, Espace de Banach 30-11-22 à 01:59

En particulier, je remets ici intégralement la généralisation de ton problème :

1.3.18 EXEMPLE .

Un espace de Banach est de dimension finie ou non dénombrable.
Autrement dit un espace vectoriel normé E qui admet une base infinie dénombrable \{e_n\}_{n\in \N} n'est pas complet.
Soit en effet F_n le sous-espace de E engendré par les n premiers vecteurs \{e_0, \cdots, e_n\} de la base.
Alors F_n est fermé dans E (car de dimension finie, donc complet) et E = \bigcup_{n\in \N}F_n .

D'après le théorème de Baire, il existe n_0 \in \N tel que F_{n_0} est d'intérieur non vide,
il contient donc une boule B(a,r) et par translation, la boule B(0,r) donc l'espace entier par homothétie.
Alors E=F_{n_0} serait de dimension finie.

Posté par
audinaudin
re : Normes, Espace de Banach 30-11-22 à 06:41

Si Fno = E alors on a une absurdité vu que les Fn sont distincts deux à deux. Mais je ne vois toujours pas comment conclure que l'espace n'admet pas de norme faisant de lui un Banach

Posté par
audinaudin
re : Normes, Espace de Banach 30-11-22 à 06:45

Merci déjà pour vos différentes réactions.

Posté par
audinaudin
re : Normes, Espace de Banach 30-11-22 à 06:55

Et je pense qu'on doit utiliser le théorème de Baire au lieu des séries car il est demandé d'énoncer celui-ci avant cette question.

Posté par
jsvdb
re : Normes, Espace de Banach 30-11-22 à 08:07

Tu dis que E, dont tu connais explicitement une base qui est dénombrable, est la réunion de ses droites vectorielles engendrées par chacun des éléments de la base.
Or chaque droite est d'intérieur vide donc …..

Posté par
jsvdb
re : Normes, Espace de Banach 30-11-22 à 08:26

Oh là là là … n'importe quoi ! Oublie !

Posté par
jsvdb
re : Normes, Espace de Banach 30-11-22 à 11:42

audinaudin @ 30-11-2022 à 06:41

Si Fno = E alors on a une absurdité vu que les Fn sont distincts deux à deux. Mais je ne vois toujours pas comment conclure que l'espace n'admet pas de norme faisant de lui un Banach

Tout espace de Banach est un espace de Baire : simple démo ici .
__________________________________________

Tout espace vectoriel E qui possède une base infinie dénombrable ne peut être un Banach car il ne peut être de Baire.

En effet, soit \{e_i\}_{i\in \N} une telle base et F_j = \text{Vect}\{e_0,\cdots,e_j\},j\in \N.

Les F_j sont des SEV de dimension finie, donc fermés, de E. Ils sont également d'intérieur vide dans E.

De plus E = \bigcup_{n\in \N}F_n. (c'est ce que Rintaro te suggérait : "Essaye de décomposer ton espace en une union (dénombrable) de fermés.")

Donc E qui est ouvert peut s'écrire alors comme réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide et ne peut pas donc être de Baire.
_________________________________________

Application : l'espace vectoriel des suites complexes nulles à partir d'un certain rang possède une base infinie dénombrable. Il ne saurait donc être complet pour aucune distance issue d'une norme
(Attention : il peut être complet pour d'autres distances, mais elles ne seront pas issues d'une norme. Par exemple, la distance discrète)

Posté par
audinaudin
re : Normes, Espace de Banach 30-11-22 à 14:12

Là c'est plus clair
Merci à tous !😁



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