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Notation (X=k)

Posté par
tanx 01-01-23 à 16:41

Bonjour,
Soit (\Omega,\cal{A},\cal{P}) un espace probabilisé.
X une v.a de \Omega \to \mathbb{N}
la notation (X=k) désigne t elle un événement de \Omega?

Posté par
Rintarore : Notation (X=k) 01-01-23 à 17:16

Bonjour,

usuellement on lit plutôt \{X = k\}, et oui c'est un évènement, plus précisément

\{X = k\} = \{ \omega \in \Omega ~|~ X(\omega) = k \} = X^{-1}(\{k\}) \in \mathcal{A}

on se permet de faire cet abus de notation pour simplifier les notations.

Bonne journée et bonne année.

Posté par
Rintarore : Notation (X=k) 01-01-23 à 17:20

j'en profite aussi pour donner un second abus de notation courant

P(X = k) = P\Big( X^{-1}(\{k\}) \Big)

Posté par
verdurinre : Notation (X=k) 01-01-23 à 18:02

Bonsoir et bonne année.
Il faut aussi rajouter que  \{ \omega \in \Omega ~|~ X(\omega) = k \} \in \mathcal A par définition d'une variable aléatoire.

Posté par
GBZMre : Notation (X=k) 01-01-23 à 18:17

Bonsoir et bonne année,
Un petit exercice pour la route. Soit (X_n) une suite de variables aléatoires à valeurs dans \mathbb N définies sur (\Omega, \mathcal A, \mathcal P). Montrer que \{X_n\to +\infty\} est un événement (appartient à \mathcl A).

Posté par
verdurinre : Notation (X=k) 01-01-23 à 18:54

Salut GBZM.
J'avoue ne pas comprendre la suite de caractères \{X_n\to +\infty\}
Est-ce que tu pourrais préciser pour les mal-comprenants de mon genre ?

Posté par
Ulmierere : Notation (X=k) 01-01-23 à 19:06

C'est simplement \{\omega\in\Omega : X_n(\omega) \underset{n\to\+\infty}{\longrightarrow} +\infty\}.

Indice: écrire la définition de "tendre vers l'infini" en termes de epsilon et réfléchir à quoi sert la théorie de la mesure

Posté par
verdurinre : Notation (X=k) 01-01-23 à 19:15

Merci Ulmiere et bonne année.

Posté par
GBZMre : Notation (X=k) 02-01-23 à 11:30

Pour poursuivre : peut-on avoir P(X_n\to +\infty)=0 et P(X_n\geq n)\to1 (quand n\to\infty, bien sûr) ?

Posté par
verdurinre : Notation (X=k) 03-01-23 à 19:26

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