Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Nombres complexesTopics traitant de nombres complexes [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Notation exponentielle

Posté par
IdFT 17-07-18 à 14:35

Bonjour et merci d'avance.
J'ai lu dans mon cour que l'argument d'un nombre complexe est défini par : cos\theta = \frac{a}{r} , sin\theta = \frac{b}{r} , r = \mid z\mid = \sqrt{a² + b²}
Et que l'on peut aussi utiliser la notation exponentielle avec z = re^{i\theta }
:
cos\theta = \frac{e^{i\theta }+ e^{-i\theta }}{2}
sin\theta = \frac{e^{i\theta } - e^{-i\theta }}{2}
Mais je  n'arrive pas à comprendre comment passer de la notation classique à l'exponentielle.

Posté par
Camélia Correcteurre : Notation exponentielle 17-07-18 à 14:53

Bonjour

Ce que tu appelles classique est probablement z=a+ib. Alors, en posant r=\sqrt{a^2+b^2} et en supposant r\neq 0 on a

z=r\left(\dfrac{a}{r}+i\dfrac{b}{r}\right)=r\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)=r(\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}+i\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2})=re^{i\theta}


La difficulté est de montrer l'existence de \theta mais je suppose que vous l'avez admis.

Posté par
IdFTre : Notation exponentielle 17-07-18 à 17:14

Merci mais pour la forme de z avec exponentielle cela a été admis je cherche plutot à comprendre comment on passe de l'écriture de cos et sin en fonction de a, b et r à celle avec exponentielle quant à la formule z = re^{i\theta } elle a aussi été admisse donc j'ai pas de soucis avec ça.

Posté par
DOMOREANotation exponentielle 17-07-18 à 19:18

bonjour,
j'ajoute que la notation Cos(\theta)+iSin(\theta) =e^{i\theta)  se justifie par la conformité et en cohérence entre le produit dans \mathbb{R} de deux  exponentielles  et les propriétés des fonctions trigonométriques. Cos(a+b)=Cos(a)Cos(b)-Sin(a)Sin(b) et Sin(a+b)=Sin(a)Cos(b)+Sin(b)Cos(a)

e^{i\theta}\times e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}  ainsi des deux relations précédentes et avec i²=-1 on a par développement dans \mathbb{C}
(Cos(\theta)+iSin(\theta))\times (Cos(\theta')+iSin(\theta'))= Cos(\theta+\theta')+iSin(\theta+\theta')

Posté par
IdFTre : Notation exponentielle 18-07-18 à 11:48

IdFT @ 17-07-2018 à 17:14

Merci mais pour la forme de z avec exponentielle cela a été admis je cherche plutot à comprendre comment on passe de l'écriture de cos et sin en fonction de a, b et r à celle avec exponentielle quant à la formule z = re^{i\theta } elle a aussi été admisse donc j'ai pas de soucis avec ça.

Merci beaucoup mais comme dit dans ce message mon problème est de savoir comment l'on passe de l'expression de cos et sin en fonction de a, b et r à celle avec exponentielle c'est cela que je cherche surtout à comprendre.

Posté par
DOMOREANotation exponentielle 18-07-18 à 13:26

bonjour,
Ce que tu demandes est déjà presque inscrit dans ton premier post:
Soit a+ib différent de 0
a+ib=\sqr{a^2+b^2}\times( \frac{a}{\sqr{a^2+b^2}}+i\frac{b}{\sqr{a^2+b^2}})

on pose \sqr{a^2+b^2}=r  r>0 et \theta défini par Cos(\theta)=\frac{a}{\sqr{a^2+b^2}} et Sin\theta)=\frac{b}{\sqr{a^2+b^2}}

comme tu sembles savoir que Cos(\theta)+iSin(\theta) s'écrit e^{i\theta}

tu as donc bien a+ib=re^{i\theta} avec r  et \theta définis comme plus avant.

Posté par
lafol Moderateurre : Notation exponentielle 18-07-18 à 17:32

Bonjour
si la question porte sur les formules d'Euler, on les obtient en écrivant e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta, en remplaçant \theta par -\theta, ce qui donne e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta, en additionnant les deux relations avant de tout diviser par 2 (pour le cosinus), en soustrayant les deux relations avant de tout diviser par 2i (pour le sinus)

autre manière de légitimer l'écriture e^{ix} = \cos x + i\sin x : poser f(x) = \cos x + i\sin x, dériver et constater que f est la solution de l'équation y' = iy qui vaut 1 en 0 ....

Posté par
carpediemre : Notation exponentielle 19-07-18 à 11:55

salut

soit f la fonction définie sur \R par f(t) = \cos t + i \sin t avec i^2 = -1

alors f'(t) = - \sin t + i \cos t = i (\cos t + i \sin t ) = i f(t)

or si t g(t) = e^{at} alors g'(t) = ae^{at} = ag(t)

donc il est naturel (car cohérent) de poser f(t) = e^{it}

et alors z = a + ib = r \left( \dfrac a r + i \dfrac b r \right) = r (\cos (\theta) + i \sin(\theta) ) = r e^{i \theta}

Posté par
carpediemre : Notation exponentielle 19-07-18 à 11:57

arhg ... pas vu la dernière ligne du msg de lafol

PS : les STI voient les équations différentielles ... pas les S !!!

Posté par
lafol Moderateurre : Notation exponentielle 19-07-18 à 12:08

les S ne voient plus les équa diff ? même y'=y pour introduire l'exponentielle ?

Posté par
DOMOREANotation exponentielle 19-07-18 à 12:09

bonjour à tous,
En fait si on ne reste pas au niveau "terminale", il n'y a pas de légitimation à faire pour cette notation, il suffit de définir l'exponentielle complexe  exp(ix) par sa série et on retrouve les séries convergentes définissant Cos et Sin

Posté par
carpediemre : Notation exponentielle 19-07-18 à 12:16

non ... quand à introduire l'exponentielle en S on le fait plutôt avec l'équation fonctionnelle f(x + y) = f(x)f(y)

on peut utiliser y' = y avec les STI (ou comme avec les S éventuellement) ...

mais on y passe tellement de temps vu leur niveau (à tous : aussi bien S que STI) ... qu'on traîne pas trop ...

pour résumer : quand on regarde l'état des programmes du lycée : c'est catastrophiquement incohérent et lacunaire ... (ex : parler de loi binomiale et utiliser l'expression "variable aléatoire" sans même quasiment définir cette notion)

Posté par
lafol Moderateurre : Notation exponentielle 19-07-18 à 12:18

et ben, je ne regrette vraiment pas d'avoir été poussée vers la sortie par la réforme des retraites de mères de trois enfants il y a 7 ans ! (et je comprends mieux le très faible niveau des jeunes entrant dans l'enseignement supérieur ces dernières années ....)

Posté par
carpediemre : Notation exponentielle 19-07-18 à 12:29

de même la géométrie (vectorielle entre autre) ne se pratique quasiment qu'avec des coordonnées ...

alors qu'elle (la géométrie pure (= non analytique)) est fondamentale pour aborder au mieux les espaces vectoriels et l'abstraction

et la géométrie pure est tout autant fondamentale pour l'exercice de la réflexion

on le voit bien avec les demandes des première année de post bac sur le site ...

Posté par
IdFTre : Notation exponentielle 23-07-18 à 13:18

Merci beacoup

Posté par
carpediemre : Notation exponentielle 23-07-18 à 16:06

de rien


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !