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Notion de convergence

Posté par
mathmusic 20-08-25 à 17:16

Bonjour, je suis en L2 de maths et je ne comprend pas très bien la manière de résoudre cette partie de l'exo ou l'on doit déterminera la nature  de la convergence de cette série.
Je pensais à utiliser le critère d'Alembert ou encore les équivalences ou même décomposé le terme mais je bloque je ny arrive pas
Ma demande est la suivante : pouvez vous me donner une méthode à suivre ou une piste à privilégier pour résoudre ce problème.
Je vous en serai reconnaissante. Merci

Notion de convergence

Posté par
Zormuchere : Notion de convergence 20-08-25 à 20:40

Bonjour
Sauf erreur, il me semble que le terme général de cette série ne converge pas vers 0. C'est la première chose qu'il faut regarder

Posté par
Zormuchere : Notion de convergence 20-08-25 à 20:43

Pardon, j'ai parlé trop vite, ça semble dépendre d'alpha bien évidemment. Mais il peut être intéressant de regarder d'abord pour quel alpha le terme général converge bien vers 0

Posté par
mathmusicre : Notion de convergence 20-08-25 à 21:12

Bonjour,  
Merci pour votre temps.
Quand vous parlez de terme général,  nous parlons de l'expression (1+k/n^alpha-1) ou bien de cette expression en incluant le produit ?
Merci.

Posté par
mathmusicre : Notion de convergence 20-08-25 à 21:19

En effet je viens de comprendre pourquoi étudier le terme avec le produit.
Selon la propriété si Un ->0 , alors la somme Un converge.
Le terme produit me dérange dans l'étude de cette expression

Posté par
jandri Correcteurre : Notion de convergence 20-08-25 à 22:36

Bonjour,

mathmusic @ 20-08-2025 à 21:19

Selon la propriété si Un ->0 , alors la somme Un converge.

C'est exactement le contraire : si la série \sum u_n converge alors u_n tend vers 0.

L'étude de cette série peut se faire en écrivant u_n=e^{v_n}-1 avec v_n=\sum_{k=1}^n\ln(1+k/n^{\alpha}).

D'abord si \alpha\leqslant1 on montre que v_n\geqslant\ln2 donc ne tend pas vers 0 et donc u_n aussi.

Pour \alpha>1 on a k/n^{\alpha}<1. On montre que pour 0<t<1 on a t/2<\ln(1+t)<t et on en déduit un encadrement de v_n qui permet de trouver pour quelles valeurs de \alpha la suite v_n tend vers 0.

La nature de la série s'obtient alors facilement puisque u_n\sim v_n quand v_n tend vers 0.

Posté par
mathmusicre : Notion de convergence 21-08-25 à 00:20

Bonsoir,  
Oui autant pour moi haha merci de m'avoir reprise!
Désolé de la question j'espère ne pas embêter ;( , pourquoi et comment as tu choisi de travailler avec ln ? Comment est ton passé d'un produit à une somme avec ln qui intervient.
Merci beaucoup d'avoir pris le temps.
Bonne soirée

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Notion de convergence 21-08-25 à 00:29

Bonsoir


Une piste possible pour démarrer


En utilisant l'inégalité (facile à établir) \Large\boxed{\forall x_1,...,x_n\geqslant0~~~,~~\prod_{k=1}^n(1+x_k)\geqslant1+\sum_{k=1}^nx_k}

on a \Large\boxed{\left[\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n^{\alpha}}\right)-1\right]\geqslant\frac{n(n+1)}{2n^{\alpha}}\sim\frac{1}{2n^{\alpha-2}}}


on en déduit alors que la série diverge si \red\Large\boxed{\alpha\leqslant3} ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Notion de convergence 21-08-25 à 00:52

Si \blue\Large\boxed{\alpha>3} l'inégalité arithmético-géométrique donne :

\Large\boxed{\left[\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n^{\alpha}}\right)-1\right]\leqslant\left(1+\frac{n+1}{2n^{\alpha}}\right)^n-1\sim\frac{1}{2n^{\alpha-2}}} ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
mathmusicre : Notion de convergence 21-08-25 à 19:50

Merci beaucoup pour votre aide!
Auriez vous des cas similaire a traiter afin que je puisse m'entrainer ?


Bonne journée


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