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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Notions de corps

Posté par
AnneDu60
28-06-19 à 16:05

Bonjour à vous

J'avais deux questions à vous poser sur la notion d'extension de corps.

1) On fixe (K,+,x) un corps.  Soit L un ensemble. Une extension de corps  L/K est la donnée d'un corps L et d'un morphisme morphisme de corps :KL.

Donc l'extension de corps de K considérée ici est bien le couple  (L,) ?
Par rapport aux lois que l'on pose sur L. La loi additive de K est notée +. C'est la même que sur L ? En effet, sans cela je ne peux pas montrer le lemme suivant :

Lemme :" Soit (K,+,x) un corps, soit L un ensemble. Si L/K est une extension de corps, alors L est un K-espace vectoriel."

Début de la démo :
On commence par dire que (L,+) est un groupe abélien. Mais , comme L/K est une extension de corps alors L est un corps par rapport à deux lois. Mais pourquoi la loi additive de L est + c'est à dire la même que celle de K ?

2) Soit (K,+,x) un corps.
L un ensemble. On suppose que L/K est une extension de corps (de K).
Donc, par définition il existe un morphisme de corps : KL.
Et on identifie K à (K). Mais que signifie rigoureusement "identifier" ?
Que l'on ne fait pas de distinction entre K et (K) ? Donc K=(K) ce qui est faux ..
Même si ça parait intuitif d'identifier par exemple à M1() ou bien K aux polynomes constants de K[X]. Je trouve cela très flou ..

Posté par
verdurin
re : Notions de corps 28-06-19 à 17:39

Bonsoir,
il faut que soit un isomorphisme entre K et (K).

C'est ce qui permet l'identification : si on ne s'intéresse qu'aux propriétés des corps, on ne peut pas distinguer K de (K).

Posté par
verdurin
re : Notions de corps 28-06-19 à 18:31

J'ai oublié une chose : étant un morphisme de corps, c'est nécessairement un isomorphisme entre K et (K).

Posté par
luzak
re : Notions de corps 28-06-19 à 18:42

Bonsoir !

Citation :
La loi additive de K est notée +. C'est la même que sur L ? En effet, sans cela je ne peux pas montrer le lemme suivant :

Ce n'est pas une obligation !
Si tu notes \mathsf{T} la loi additive de L tu peux écrire, pour (x,y)\in L^2,\;(\alpha,\beta)\in\K^2 :
(\alpha+\beta)x=(\alpha x)\mathsf{T}(\beta x),\;\alpha(x\mathsf{T}y)=(\alpha x)\mathsf{T}(\alpha y)
lorsque tu veux exprimer les lois d'espace vectoriel !
Dans la pratique on prend le même signe pour l'addition des deux corps, le contexte indique toujours la bonne interprétation.
Il y a parfois nécessité de préciser la notation : par exemple, dans certaines formules, il est bon de savoir distinguer les neutres multiplicatifs. On précise alors 1_{\K},\;1_{\L}

........................................
l'identification consiste à dire que , en ce qui concerne les lois associées à l'isomorphisme, on peut "noter" x au lieu de \varphi(x), les éléments de \varphi(\K)

Posté par
AnneDu60
re : Notions de corps 28-06-19 à 23:44

luzak @ 28-06-2019 à 18:42

Bonsoir !

Ce n'est pas une obligation !
Si tu notes \mathsf{T} la loi additive de L tu peux écrire, pour (x,y)\in L^2,\;(\alpha,\beta)\in\K^2 :
(\alpha+\beta)x=(\alpha x)\mathsf{T}(\beta x),\;\alpha(x\mathsf{T}y)=(\alpha x)\mathsf{T}(\alpha y)
lorsque tu veux exprimer les lois d'espace vectoriel !


Dans mes cours il est écrit ceci :
Soit K, un corps
Soit E un ensemble.
E est un K-espace vectoriel s'il existe une loi de composition interne + et une loi de composition externe * telles que :
(E,+) est un groupe abélien
Pour tous ,K, x,yE, on a :
*(x+y)=*x+*y
(+)*x=*x+*x
(et d'autres propriétés ...)

Par rapport à la troisième propriété, on remarque que la loi additive de K est + ..

Par rapport à ce que vous m'avez écrit je dirai plutôt ceci :

Soit (K,+,x) un corps.
L est un K-e.v ssi il existe une lci T et une lce * telles que :

(E,T) est un groupe abélien.
Pour tous ,K, x,yE , on a :

(+)*x=*x T *x
*(xTy)=*xT*y
(x)*x=*(*x) ?

Posté par
AnneDu60
re : Notions de corps 28-06-19 à 23:50

Oui mais en quoi a-ton le droit de pouvoir assimiler K à (K) ?
Il est vrai que si on pose : 2
                                                             (x,y) x+iy , est un isomorphisme de corps, et donc on identifie 2 à .
C'est vrai que ces deux ensembles ont une structure identique. Mais en quoi cela nous donne le droit de faire comme ci 2= .. ?

Posté par
jsvdb
re : Notions de corps 29-06-19 à 00:06

Bonjour AnneDu60

AnneDu60 @ 28-06-2019 à 23:50

Il est vrai que si on pose : 2
                                                             (x,y) x+iy , est un isomorphisme de corps, et donc on identifie 2 à .  


Dans ce que tu dis là, on a un isomorphisme de corps à condition d'avoir mis une structure de corps sur \R^2, ce qui n'est classiquement pas le cas.
Du coup, on transporte les opérations de \C sur \R^2, on fait alors de \R^2 un corps et ton application devient un isomorphisme.

D'où

AnneDu60 @ 28-06-2019 à 23:50

Oui mais en quoi a-ton le droit de pouvoir assimiler K à (K) ?

Cette assimilation vient de ce que K et son image par ont exactement la même structure algébrique. Ce que l'on fait algébriquement sur l'un peut-être fait sur l'autre, toute les propriétés algébriques de l'un sont les propriétés algébriques de l'autre etc etc. Donc algébriquement, rien ne les distingue.

Cela est très utile quand on ne connaît pas les propriétés d'un corps : on travaille sur un autre que l'on connaît, qui lui est isomorphe, et on déduit ses propriétés.

Posté par
verdurin
re : Notions de corps 29-06-19 à 00:10

On a pas le droit de le faire.
Simplement on ne peut pas les distinguer tant qu'on se limite à leur structure de corps.
En d'autres termes R2 muni des opérations adéquates n'est pas égal à C mais on ne peut pas les distinguer.
Par abus de langage, on dit qu'ils sont égaux.

Là ou je trouve que ta définition est douteuse, c'est quand on considère C comme extension de R  avec (x)=x+0i.

Posté par
coa347
re : Notions de corps 29-06-19 à 10:07

verdurin @ 29-06-2019 à 00:10

On a pas le droit de le faire.
Simplement on ne peut pas les distinguer tant qu'on se limite à leur structure de corps.
En d'autres termes R2 muni des opérations adéquates n'est pas égal à C mais on ne peut pas les distinguer.
Par abus de langage, on dit qu'ils sont égaux.

Bonjour verdurin,
Je ne suis pas tout à fait d'accord. Je dirais que si, on a le droit de le faire, parce qu'on peut définir \C par \C=\R^2 muni des lois adéquates, et qu'il suffit de noter  (1,0)=1 et (0,1)=i pour retrouver notre \C habituel.
D'ailleurs, comment peut-on les distinguer sur d'autres aspects que leur structure de corps ou d'espace vectoriel ?
Pour moi, ce n'est donc qu'une question de notation, mais derrière, c'est la même chose (le même ensemble).
Evidemment, si on a défini \C différemment, on montre l'équivalence entre les définitions.

Posté par
jsvdb
re : Notions de corps 29-06-19 à 13:02

En procédant ainsi, tu définis  \C comme étant \R^2 muni de deux lois dont on montre qu'elle font de \R^2 un corps. Donc, évidemment, dans ce contexte, \C et \R^2 sont les même ensembles et il est donc trivial au plus haut point qu'on a un isomorphisme entre ces deux entités qui n'en sont qu'une en réalité.

C'est comme quand Jean-Philippe SMET devient Johnny Hallyday.

Mais ton soucis n'est pas là. Tu te demandes à l'origine pourquoi on peut identifier K à (K) quand on a une extension L/K avec un morphisme (nécessairement injectif) : K L.

Ce morphisme étant injectif, K et (K) sont alors deux corps isomorphes et on ne peut algébriquement pas les distinguer.
C'est pourquoi on les identifie au point de dire que ce sont les mêmes. Mais bien entendu, c'est leur structure qui est identique, pas leurs éléments.

Pour reprendre le cas de \C, on a une extension \C/\R (ou bien \R^2/\R comme tu veux, mais le premier est plus conventionnel) avec le morphisme \varphi : x \mapsto x+0i (resp. \varphi : x \mapsto (x,0))

Ici, \varphi(\R) est un sous-corps de \C qui a exactement les mêmes propriétés algébriques que \R au point que l'on dit que \R est un sous-corps de \C et que l'on écrit x = x +0i

Rien à voir avec la définition de \C par \R^2

Citation :
Mais pourquoi la loi additive de L est + c'est à dire la même que celle de K ?

Non, la loi + de L n'est pas la loi + de K, mais une extension de celle de K via le morphisme : K L.

Autrement dit, on transporte la loi + de K à (K), puis on l'étend à L dans la mesure où le + de L, restreinte à (K) est isomorphiquement identique au + de K.

Pour détailler encore plus :

On a un isomorphisme \tilde \varphi : K \rightarrow \tilde \varphi (K) \subset L qui transporte le + de K dans un sous-corps de L

puis un injection i : \tilde \varphi(K) \rightarrow L qui permet d'étendre le + de \tilde \varphi(K) dans L

Le morphisme \varphi : K \rightarrow L est alors factorisable en \varphi = i \circ \tilde \varphi

Posté par
AnneDu60
re : Notions de corps 29-06-19 à 23:17

Généralement on s'intéresse au triplet (2,+,x) avec ces deux opérations définies par :
(x,y),(x',y')2,
(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y') et (x,y)(x',y')= (xx',yy').
Ce triplet n'est pas un corps.

Toutefois en s'intéressant à 2 muni de deux opérations +^ et x^ définies par :
(x,y),(x',y')2,
(x,y)+^(x',y')=(x+x',y+y') et (x,y)^(x',y')=(xx'-yy',xy'+x'y) on montre que ce triplet est un corps.
Ainsi (,+^,x^) := (2,+^,x^) ?
Quand on écrit que ^2 est isomorphe à on est bien dans le cas où 2 est munit des lois +^ et x^ ? Mais c'est évident ça d'après ce que j'ai mis en rouge...
De toute façon ça ne peut pas être 2 munit des lois usuelles + et x que j'ai écrite au début car on aurait que ² est isomorphe à et l'un est un corps tandis que l'autre ne l'est pas. C'est contradictoire ..

Pour revenir à la question initiale, on identifie deux ensembles quand ils sont isomorphes entre eux. Ces deux ensembles ne sont pas forcément munis des mêmes lois.
Et on peut identifier l'un à autre car ils ont la même structure algébrique même si les éléments sont différents. En réalité l'identification est un raccourci non rigoureux.

Voici un exemple clair dans lequel je vais démontrer rigoureusement (sans l'identication) puis avec l'identication pour que je sois sûre que je dis pas n'importe quoi.

Soit (A,+,x) un anneau. On suppose que A[X] est intègre et on veut montrer que A est intègre.

On pose E={P A[X], deg(P)=0 ou deg(P)=-}.
(E,+,x) est un anneau.
E A[X] et comme A[X] est intègre alors E l'est également.
On pose : A E
                       a (a,0,........)
On vérifie facilement que est un isomorphisme.
Et comme est un isomorphisme et que E est intègre, il en est de même pour A (je vous épargne la démonstration qui est vraiment facile).

Avec identification :
On identifie A avec E.
A A[X]. Comme A[X] est intègre alors A l'est aussi.

Mais ici ça marche avec l'intégrité comme propriété algébrique mais vous me dites que ça marche pour n'importe quelle propriété algébrique, comment le sait-on ? Il y a-t-il un théorème général qui le démontre ?

Posté par
AnneDu60
re : Notions de corps 29-06-19 à 23:17

J'ai oublié le plus important : bonsoir à vous

Posté par
jsvdb
re : Notions de corps 30-06-19 à 00:18

Bonsoir AnneDu60

Citation :
Généralement (affirmation douteuse) on s'intéresse au triplet (2,+,x) avec ces deux opérations définies par :
(x,y),(x',y')2,
(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y') et (x,y)x(x',y')= (xx',yy').
Ce triplet n'est pas un corps.

C'est pour ça qu'on ne s'y intéresse pas des masses et personnellement, je ne l'ai jamais utilisé.
Au mieux, comme exercice, montre-t-on la structure d'anneau unitaire pour ces opérations, en vérifiant la distributivité de x sur +.

Posté par
jsvdb
re : Notions de corps 30-06-19 à 00:28

Citation :
Toutefois en s'intéressant à 2 muni de deux opérations +^ et x^ définies par :
(x,y),(x',y')2,
(x,y)+^(x',y')=(x+x',y+y') et (x,y)^(x',y')=(xx'-yy',xy'+x'y) on montre que ce triplet est un corps.
Ainsi (,+^,x^) := (2,+^,x^) ?
Quand on écrit que ^2 est isomorphe à on est bien dans le cas où 2 est munit des lois +^ et x^ ? Mais c'est évident ça d'après ce que j'ai mis en rouge...
De toute façon ça ne peut pas être 2 munit des lois usuelles + et x que j'ai écrite au début car on aurait que ² est isomorphe à et l'un est un corps tandis que l'autre ne l'est pas. C'est contradictoire ..  

C'est bien ce que je dis, tu as pris \R^2, tu lui as collé deux opérations qui en font un corps, et tu lui as dit, "désormais tu ne t'appelleras plus \R^2 mais \C". JPS est devenu JH. Mais c'est le même homme.

Du coup, avec cette définition, \R^2 n'est pas isomorphe à \C, il est \C

Maintenant, quand on écrit que \R^2 est isomorphe à \C, il est évident, et je l'ai dit 29-06-19 à 00:06, qu'on a d'abord collé sur \R^2 les opérations adéquates et constater qu'on avait un isomorphisme de corps entre les deux. Mais cela sous-entend que \C a une autre définition qui vient d'ailleurs.

Posté par
jsvdb
re : Notions de corps 30-06-19 à 00:51

Citation :
Pour revenir à la question initiale, on identifie deux ensembles quand ils sont isomorphes entre eux. Ces deux ensembles ne sont pas forcément munis des mêmes lois.

C'est assez floue comme affirmation.
Il faudrait que tu aies un cours sur la notion générale de morphisme pour que tu comprennes en profondeur ce que cela signifie. Et notamment, que morphisme signifie surtout "transport de structure" d'un ensemble sur un autre.
Bourbaki en a un très joli, mais un peu aride.

Citation :
Et on peut identifier l'un à autre car ils ont la même structure algébrique même si les éléments sont différents. En réalité l'identification est un raccourci non rigoureux.

Mais bien au contraire, l'identification est très rigoureusement définie. C'est en général une injection d'un ensemble dans un autre qui, justement, préserve les structure d'origine et d'arrivée. Les structures en question sont iso-morphos  : du grec ancien ἴσος, isos (« même ») et μορφή, morfê (« forme »).

Tellement rigoureux qu'on peut trouver des propriétés algébriques a des ensembles dont on ne sait pas par quel bout les prendre.

Par exemple : prenons un corps fini avec un nombre p premier d'éléments. Alors c'est, à isomorphisme près, un \Z/p\Z. On peut donc lui appliquer toutes ses propriétés.

\R est unique à isomorphisme près, ça signifie quoi ? Qu'un corps commutatif, totalement ordonné, archimédien et possédant la propriété de la borne supérieure, il n'y en a qu'un et quelle que soit la forme qu'on leur donne, ils sont tous isomorphes. Si donc tu veux les distinguer, alors ce ne sera pas par leurs propriétés algébriques, il faudra trouver autre chose.

\R est donc une classe d'objets isomorphes plutôt qu'un ensemble bien particulier.

Il ne faut pas confondre "identification de deux ensembles par leur structure" avec "égalité de deux ensembles" suggérée par l'axiome d'extensionnalité, et qui est une notion trop faible pour être exploitable.

Tu t'en doutes, il y a quantité d'autre structure qui possèdent leurs isomorphisme (par ex : deux espaces vectoriels isomorphes, deux espaces topologiques isomorphes, deux ensembles ordonnés isomorphes (l'isomorphisme étant en général un application strictement croissante) etc etc)

Posté par
jsvdb
re : Notions de corps 30-06-19 à 00:56

AnneDu60 @ 29-06-2019 à 23:17

Mais ici ça marche avec l'intégrité comme propriété algébrique mais vous me dites que ça marche pour n'importe quelle propriété algébrique, comment le sait-on ? y a-t-il un théorème général qui le démontre ?

Bien sûr que non; ce sera du cas par cas.
Si j'ai un isomorphisme entre deux corps, tout ce qui marchera pour l'un va marcher pour l'autre, étant évidemment sous entendu que l'on reste dans les propriété de corps.
En revanche, si sur l'un j'ai une structure topologique et sur l'autre une autre, bien évidemment, ce seront deux corps topologiques différents, bien que l'isomorphisme entre les deux laisse supposer que l'on puisse transporter les structures topologiques de l'un sur l'autre et réciproquement.

Posté par
coa347
re : Notions de corps 30-06-19 à 10:39

AnneDu60 @ 29-06-2019 à 23:17

Toutefois en s'intéressant à 2 muni de deux opérations +^ et x^ définies par :
(x,y),(x',y')2,
(x,y)+^(x',y')=(x+x',y+y') et (x,y)^(x',y')=(xx'-yy',xy'+x'y) on montre que ce triplet est un corps.
Ainsi (,+^,x^) := (2,+^,x^) ?
Quand on écrit que ^2 est isomorphe à on est bien dans le cas où 2 est munit des lois +^ et x^ ? Mais c'est évident ça d'après ce que j'ai mis en rouge...

Bonjour,
AnneDu60 C'est ça. Pour moi, quand on écrit \C=\R^2, c'est évidemment sous-entendu \R^2 muni des lois que tu as nommées +^ et -^.

Posté par
luzak
re : Notions de corps 30-06-19 à 15:47

Ce qui est sûr c'est que si tu veux utiliser \R^2 à la place de \Cpour manipuler des fonctions holomorphes ou des polynômes à coefficients complexes tu devras refaire beaucoup de bouquins !

Posté par
verdurin
re : Notions de corps 30-06-19 à 16:41

Bonsoir,
juste une remarque.

On peut définir C comme l'ensemble des polynômes à coefficients réel modulo le polynôme X2+1.

\C={\R[X]}/\raisebox{-0.5ex}{(X^2+1)}

Ce n'est pas (R2,+^,x^) mais aucune propriétés des nombres complexes ne permet de distinguer ces deux ensembles.



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