Bonjour à vous
J'avais deux questions à vous poser sur la notion d'extension de corps.
1) On fixe (K,+,x) un corps. Soit L un ensemble. Une extension de corps L/K est la donnée d'un corps L et d'un morphisme morphisme de corps :KL.
Donc l'extension de corps de K considérée ici est bien le couple (L,) ?
Par rapport aux lois que l'on pose sur L. La loi additive de K est notée +. C'est la même que sur L ? En effet, sans cela je ne peux pas montrer le lemme suivant :
Lemme :" Soit (K,+,x) un corps, soit L un ensemble. Si L/K est une extension de corps, alors L est un K-espace vectoriel."
Début de la démo :
On commence par dire que (L,+) est un groupe abélien. Mais , comme L/K est une extension de corps alors L est un corps par rapport à deux lois. Mais pourquoi la loi additive de L est + c'est à dire la même que celle de K ?
2) Soit (K,+,x) un corps.
L un ensemble. On suppose que L/K est une extension de corps (de K).
Donc, par définition il existe un morphisme de corps : KL.
Et on identifie K à (K). Mais que signifie rigoureusement "identifier" ?
Que l'on ne fait pas de distinction entre K et (K) ? Donc K=(K) ce qui est faux ..
Même si ça parait intuitif d'identifier par exemple à M1() ou bien K aux polynomes constants de K[X]. Je trouve cela très flou ..
Bonsoir,
il faut que soit un isomorphisme entre K et (K).
C'est ce qui permet l'identification : si on ne s'intéresse qu'aux propriétés des corps, on ne peut pas distinguer K de (K).
J'ai oublié une chose : étant un morphisme de corps, c'est nécessairement un isomorphisme entre K et (K).
Bonsoir !
Oui mais en quoi a-ton le droit de pouvoir assimiler K à (K) ?
Il est vrai que si on pose : 2
(x,y) x+iy , est un isomorphisme de corps, et donc on identifie 2 à .
C'est vrai que ces deux ensembles ont une structure identique. Mais en quoi cela nous donne le droit de faire comme ci 2= .. ?
Bonjour AnneDu60
On a pas le droit de le faire.
Simplement on ne peut pas les distinguer tant qu'on se limite à leur structure de corps.
En d'autres termes R2 muni des opérations adéquates n'est pas égal à C mais on ne peut pas les distinguer.
Par abus de langage, on dit qu'ils sont égaux.
Là ou je trouve que ta définition est douteuse, c'est quand on considère C comme extension de R avec (x)=x+0i.
En procédant ainsi, tu définis comme étant muni de deux lois dont on montre qu'elle font de un corps. Donc, évidemment, dans ce contexte, et sont les même ensembles et il est donc trivial au plus haut point qu'on a un isomorphisme entre ces deux entités qui n'en sont qu'une en réalité.
C'est comme quand Jean-Philippe SMET devient Johnny Hallyday.
Mais ton soucis n'est pas là. Tu te demandes à l'origine pourquoi on peut identifier K à (K) quand on a une extension L/K avec un morphisme (nécessairement injectif) : K L.
Ce morphisme étant injectif, K et (K) sont alors deux corps isomorphes et on ne peut algébriquement pas les distinguer.
C'est pourquoi on les identifie au point de dire que ce sont les mêmes. Mais bien entendu, c'est leur structure qui est identique, pas leurs éléments.
Pour reprendre le cas de , on a une extension (ou bien comme tu veux, mais le premier est plus conventionnel) avec le morphisme (resp. )
Ici, est un sous-corps de qui a exactement les mêmes propriétés algébriques que au point que l'on dit que est un sous-corps de et que l'on écrit
Rien à voir avec la définition de par
Généralement on s'intéresse au triplet (2,+,x) avec ces deux opérations définies par :
(x,y),(x',y')2,
(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y') et (x,y)(x',y')= (xx',yy').
Ce triplet n'est pas un corps.
Toutefois en s'intéressant à 2 muni de deux opérations +^ et x^ définies par :
(x,y),(x',y')2,
(x,y)+^(x',y')=(x+x',y+y') et (x,y)^(x',y')=(xx'-yy',xy'+x'y) on montre que ce triplet est un corps.
Ainsi (,+^,x^) := (2,+^,x^) ?
Quand on écrit que ^2 est isomorphe à on est bien dans le cas où 2 est munit des lois +^ et x^ ? Mais c'est évident ça d'après ce que j'ai mis en rouge...
De toute façon ça ne peut pas être 2 munit des lois usuelles + et x que j'ai écrite au début car on aurait que ² est isomorphe à et l'un est un corps tandis que l'autre ne l'est pas. C'est contradictoire ..
Pour revenir à la question initiale, on identifie deux ensembles quand ils sont isomorphes entre eux. Ces deux ensembles ne sont pas forcément munis des mêmes lois.
Et on peut identifier l'un à autre car ils ont la même structure algébrique même si les éléments sont différents. En réalité l'identification est un raccourci non rigoureux.
Voici un exemple clair dans lequel je vais démontrer rigoureusement (sans l'identication) puis avec l'identication pour que je sois sûre que je dis pas n'importe quoi.
Soit (A,+,x) un anneau. On suppose que A[X] est intègre et on veut montrer que A est intègre.
On pose E={P A[X], deg(P)=0 ou deg(P)=-}.
(E,+,x) est un anneau.
E A[X] et comme A[X] est intègre alors E l'est également.
On pose : A E
a (a,0,........)
On vérifie facilement que est un isomorphisme.
Et comme est un isomorphisme et que E est intègre, il en est de même pour A (je vous épargne la démonstration qui est vraiment facile).
Avec identification :
On identifie A avec E.
A A[X]. Comme A[X] est intègre alors A l'est aussi.
Mais ici ça marche avec l'intégrité comme propriété algébrique mais vous me dites que ça marche pour n'importe quelle propriété algébrique, comment le sait-on ? Il y a-t-il un théorème général qui le démontre ?
Bonsoir AnneDu60
Ce qui est sûr c'est que si tu veux utiliser à la place de pour manipuler des fonctions holomorphes ou des polynômes à coefficients complexes tu devras refaire beaucoup de bouquins !
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