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nouvelle question sur erreur d'énoncé

Posté par
lake
01-07-20 à 17:40

Bonjour à toutes et à tous,

  Suite à ce sujet: Problème sur Intégrale 3 où il semble (sans certitude) qu'il y ait une erreur d'énoncé, je pose la question suivante:

   Soit n un entier naturel non nul.

   On pose \begin{aligned}I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^nx\,\text{d}x\end{aligned}

   Montrer que I_n\geq \dfrac{1}{2n+1}

   L'énoncé original (Bac C 1980 Orléans Tours) ici: se limitait à:

   Montrer que pour tout n entier naturel non nul, I_n\geq \dfrac{1}{2(n+1)} qui se fait sans problème en Terminale.

  Comment répondre au niveau Terminale à pfff (son inégalité est vraie).

Petit PS: j'ai hésité entre poster dans ce topic ou le forum détente.


malou edit > * oui, je crois que c'est mieux en détente *si vous voulez pouvoir développer*

Posté par
luzak
re : nouvelle question sur erreur d'énoncé 02-07-20 à 08:29

Si la fonction \arctan est connue (?) :
changement de variables : t=\tan x puis changement de variables t=u^2

Alors, sauf erreur, I_n=\int_0^1u^{2n}\dfrac{2u}{1+u^4}\rm{d}u
et \dfrac{2u}{1+u^4}\geq1 s'obtient facilement par étude de u\mapsto u^4+1-2u sur [0,1].

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : nouvelle question sur erreur d'énoncé 02-07-20 à 09:22

Bonjour,
Bravo luzak
Est-il vraiment nécessaire de connaître arctan pour utiliser ta méthode ?
Par contre il faut maitriser le changement de variable.
Je ne suis pas certaine que c'était au programme de terminale C en 1980.
Mais je suis certaine que ça ne l'est pas actuellement en terminale S.

Posté par
malou Webmaster
re : nouvelle question sur erreur d'énoncé 02-07-20 à 12:16

Bonjour à tous
de mémoire, je dirais qu'en 80, nous faisions des changements de variable
mais déménagement oblige....je n'ai plus les programmes...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : nouvelle question sur erreur d'énoncé 02-07-20 à 14:11

Bonjour malou,
De toutes façons, le sujet de 1980 ne nécessitait pas de changement de variable.
C'est celui sans doute mal recopié par pfff qui semble ne pas pouvoir se traiter sans.

Posté par
matheuxmatou
re : nouvelle question sur erreur d'énoncé 02-07-20 à 16:43

bonjour

malou : effectivement, de mémoire, dans les années 80 (post 84) en TC, il y avait le changement de variable, mais uniquement affine... ce qui d'ailleurs ne servait pas à grand chose !

Posté par
luzak
re : nouvelle question sur erreur d'énoncé 02-07-20 à 18:01

Changement de variables ou pas j'ai honte d'avoir prétendu que \dfrac{2u}{1+u^4}\geq1 : en faisant u=0...
Bref, tout à revoir !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : nouvelle question sur erreur d'énoncé 02-07-20 à 18:13

J'étais en confiance

Posté par
carpediem
re : nouvelle question sur erreur d'énoncé 02-07-20 à 19:17

salut

je n'étais pas intervenu car comme Sylvieg je pensais que c'était bon grace à luzak ...

j'ai pourtant essayer plusieurs choses à partir d'IPP (plus au programme de TC/TS) mais rien y fait : toujours un pb ...

Posté par
perroquet
re : nouvelle question sur erreur d'énoncé 03-07-20 à 09:31

Bonjour à tous.

Voici le principe d'une démonstration compréhensible pour un élève de Terminale (en espérant qu'il n'y ait pas d'erreur de calcul).

De l'égalité    I_n+I_{n+2} = \dfrac{1}{n+1}  , on déduit:   I_n = \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+3} + I_{n+4}

Or, pour n\geq 1:        \dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+3} \geq \dfrac{1}{2n+1} -\dfrac{1}{2n+9}

Donc,       I_n \geq  \dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+9} + I_{n+4}

Et, en itérant:       I_n \geq \dfrac{1}{2n+1} -\dfrac{1}{2n+8p+1} + I_{n+4p}

En faisant tendre p vers l'infini, on obtient enfin      I_n \geq \dfrac{1}{2n+1}


Remarque: on pourrait de même démontrer que pour tout n\geq 1 :   I_n \leq \dfrac{1}{2n}

Posté par
matheuxmatou
re : nouvelle question sur erreur d'énoncé 03-07-20 à 10:28

perroquet bonjour

effectivement cela a l'air de fonctionner.

le seul bémol par rapport à l'énoncé original c'est que tu utilises le fait que la suite tend vers 0 (évident avec les question précédentes) alors que ce n'est demandé qu'ensuite dans l'énoncé.

et que ce type de démonstration est un peu velue pour le "en déduire"...

Posté par
lake
re : nouvelle question sur erreur d'énoncé 03-07-20 à 10:29

Bonjour perroquet et merci!

Posté par
lake
re : nouvelle question sur erreur d'énoncé 04-07-20 à 16:50

Juste quelques commentaires:

  

Citation :
de mémoire, je dirais qu'en 80, nous faisions des changements de variable


   >> malou

J'ai passé mon bac en 73. Je suis certain que cette année là, le changement de variable pour les intégrales n'était pas au programme. En 1980, je ne sais pas.

Au reste, j'ai passé beaucoup de temps sur cette question (avec entre autres, une réponse erronée dans le topic de pfff ).
J'aurais été incapable de pondre la solution de perroquet.

  Encore une fois, merci à lui!

Si pfff revient un jour sur son sujet, je me permettrai de l'orienter ici même.

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