Peut-être un lien avec le dernier poste de cet exo Démonstration

salut

si les objets sont les mêmes  on a  C(7+2,2)=C(9,2)=36 facons
sauf erreur

si les objets sont discernables et les paquets aussi on calcul le nombre de surjections d'un ensemble à 10 elements dans un ensemble à 3 elements  soit  ;

(-1)^3-kC(3,5).k¹⁰ , pour k compris entre 0 et 3  ce qui donne  55980 cas possibles  sauf erreur

une autre facon de faire

8  1   1   --->3*C(10,8).C(9,1) = 9720
7  2   1   --->6*C(10,7).C(3,2) = 2160
6  3   1   --->6*C(10,6).C(4,3) = 5040
5  4   1   --->6*C(10,5).C(5,4) = 7560
3  3   4   --->3*C(10,3).C(7,3) = 12600
2  2   6   --->3*C(10,2).C(8,2) = 3780
5  2   3   --->6*C(10,5).C(5,2) = 15120
total : 9720+2160+5040+7560+12600+3780+15120 = 55980
on retrouve le meme resultat

J'ai eu la même idée : celle de l'utilisation du nombre de surjections. Mais ce qui m'intrigue, c'est que j'ai vu dans un document que  le nombre de manières de repartir objets discernables dans cases discernables sans qu'aucune case ne reste vide au cas où est :

.    

Ils expliquent qu'une telle répartition peut-être  subdivisée en deux sous- expériences : s'assurer d'abord qu'aucune case ne soit vide , d'où possibilités. Ensuite, repartir les objets restants dans les cases d'où puis on applique le principe multiplicatif pour obtenir le résultat attendu.

Oups

...cases discernables sans qu'aucune case ne reste vide au cas où est :

.  

J'ai bien compris ta formule mais elle marchera pas, ta démarche est de remplir les 3 cases un premier choix de 3 objets parmi 10 en tenant compte de leur dispositions soit C(10,3).3! =A(10,3)
Ensuite pour les 7 objets restants on les places ou on veut avec 3⁷ choix. Mais ça marche pas 😁

Du coup la formule est à revoir ?

Et pourtant le fait de subdiviser l'expérience en deux sous-expériences comme indiquées dans le document conduit à une surjection !

Non ?

Normalement, tout résultat possible est une surjection de l'ensemble des n objets discernables sur l'ensemble des k cases discernables. Le nombre de résultats possibles est donc le nombre de surjections qui est loin de ressembler à la formule qu'ils nous propose...

pour comprendre pourquoi ce raisonnement ne marche c'est tout simplement parcequ'il corresspond à une autre situation de tirage
prenons un exemple simple , 4 objets et  2 boites  :
dans les conditions precedentes les remplissages possibles sont ;
2   2  --> C(4,2).C(2,2)=6
1   3 --> C(4,1).C(3,3).2 = 8
ce qui donne un total de 14  ( aucune boite vide )

par contre si on prend deux boites A et B  contenant chacune deux places  et qu'on veuille repartir nos 4 objets
dans A avec un objet par compartiment seulement on a C(4,2)*2!
dans la seconde boite B à deux compartiement aussi , on impose pas le nombre d'objets par compartiment alors on aura 2² facons
ce qui donne en tout  A(4,2).2² facons de remplir A puis B

Le problème est que cette autre situation et l'énoncé ont la même finalité : celui d'obtenir une application surjectve. pour chaque possibilité.

Non ?

Pour former une surjection d'un ensemble A sur un autre ensemble B on peut procéder de diverses façons : soit on s'assure d'abord que chaque  élément de l'ensemble de départ A a une seule image puis ensuite à chaque élément de l'ensemble des éléments restants de l'ensemble de départ, on associe une seule image quelconque de l'ensemble d'arrivée B soit on s'arrange à ce que chaque élément de B ait au moins un antécédent dans A.

Mon problème est pourquoi les différents procédés pour avoir une surjection ne conduisent pas au même résultat ?

Pourtant, selon les principes de dénombrement, la question qu'on se pose généralement est : chaque possibilité est-elle une application ?  une injection ? une surjection ? une bijection ? On ne sait jamais poser la question sur la manière dont on les obtient.

On n'a jamais non plus chercher à savoir si pour une même nature de l'application on a plusieurs résultats.

Je pense que la formule aurait été juste si la question était : déterminer le nombre de cas possibles sachant que pour ranger objets discernables dans cases discernables   on range d'abord objets de sorte qu'aucune des cases ne soit vide. Quant à notre idée, l'énoncé est : déterminer le nombre de cas possibles si on desire ranger objets discernables dans cases discernables sans qu'aucune des cases ne soit vide.