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Octogone

Posté par
jtorresm 30-03-14 à 19:27

Bonsoir!

J'ai un petit gros problème à vous poser!

Calculer les coordonnées des sommets A,B,C,D,E,F,G,H d'un octogone de centre M(3; -1), dont 2 de ses sommets appartiennent à la droite d: 3x+ 2y + 3 = 0.

Pas effrayant au début. Voici mes démarches et mes problèmes.

J'ai placé un octogone sur le cercle trigonométrique, en posant le sommet A sur l'axe des abcisses. Dans ce premier temps, les coordonnées sont très faciles à calculer:

A(0;0), B(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}), C(0;1), etc.

Le centre de cet octogone initial est C(0;0) et son "rayon" 1 (le même du cercle trigo).

On peut déplacer le centre vers M(3;-1). On rajoutera aux coordonnées des sommets les coordonnées du nouveau centre pour obtenir les nouvelles.

Le problème vient maintenant: je calcule la distance du nouveau centre à la droite (c'est des maths, pas de politique, bien entendu! malgré les elections municipales d'aujourd'hui ...). Si 2 sommets S1, S2 de l'octogone appartient à la droite d, la distance de M à la droite serait la longueur de la bissectrice-médiatrice-hauteur-médiane du triangle isoscèle S1-M-S2. J'obtiens \frac{10}{13}\times\sqrt{13} (pas beau, mais c'est bel et bien le resultat correcte). Comme l'angle au sommet de chacun des 8 triangles formés est de 45º, je peux calculer le "rayon" de l'octogone (encore une fois, pas beau du tout). Je vous épargne l'expression du resultat. Appelons-le "r"

La grande question est comment je calcule les coordonnées des sommets. Il me semble qu'il faudra une petite rotation de l'octogone de base construit à partir du cercle trigonométrique (après l'avoir déplacé au centre M, et avoir alongé son rayon de "r") pour que 2 de ses sommets tombent sur la droite d, mais je ne sais pas comment faire.

Any help would be appreciated!

Je vous remercie en avance, pour vos conseils!

Johnny

Posté par
Armenre : Octogone 30-03-14 à 20:10

Est-il dit que 2 sommets consécutifs appartiennent à la droite ?

Posté par
jtorresmre : Octogone 30-03-14 à 20:32

J'ai oublié de le clarifier. Ce sont 2 sommets CONSECUTIFS qui appartiennent à la droite.

Johnny

Posté par
Armenre : Octogone 30-03-14 à 20:37

Octogone

Octogone

Voici deux solutions possibles. Dans la première deux sommets consécutifs appartiennent à la droite contrairement à la deuxième.

Posté par
Armenre : Octogone 30-03-14 à 20:40

OK. Nos réponses se sont "télescopées"

Posté par
Armenre : Octogone 30-03-14 à 20:51

Voici comment j'ai commencé la première figure : le point B appartient à la droite d et à son image dans la rotation de centre M et d'angle -pi/4.

Posté par
jtorresmre : Octogone 30-03-14 à 21:19

Merci! Je peux donc, une fois obtenu les coordonnés de B, obtenir les coordonnées des autres sommets par rotation autour de M (en faisant le calcul matricial avec angle = pi/4).

Les problème c'est d'obtenir les coordonnées de B. Il me semble qu'elles ne sont pas des valeurs faciles à calculer.

Merci, encore!

Johnny

Posté par
Armenre : Octogone 30-03-14 à 21:43

J'ai calculé les coordonnées des images de deux points de la droite d pour obtenir deux points de la droite image. Je suis parti de (-1,0) et de (1,-3).
Je n'ai pas fini les calculs (je regarde les municipales) mais je crois que le coefficient directeur de la droite image est assez simple.

Posté par
jtorresmre : Octogone 30-03-14 à 22:08

Il me semble que les points sur la droite ne peuvent pas être choisis de façon arbitraire...

Johnny

Posté par
Armenre : Octogone 30-03-14 à 22:13

Je trouve que la droite d' image de d a pour équation 5x-y-16+10\sqrt{2}=0.
Et donc les coordonnées de B sont solution du système
\left\lbrace \begin{array}{l}5x-y-16+10\sqrt{2}=0\\3x+2y+3=0\end{array}

J'ai préféré le calcul par les complexes au calcul matriciel. Mais on peut travailler en calcul matriciel aussi, bien sûr.

Posté par
Armenre : Octogone 30-03-14 à 22:17

Sur la droite d j'ai pris deux points arbitraires I(-1,0) et J(1,-3) pour trouver I' et J' et en déduire une équation de (I'J')=d' image de d dans la rotation de centre M et d'angle -pi/4

Posté par
Armenre : Octogone 30-03-14 à 22:50

Voici la figure concernant mon dernier post :


Octogone
Je trouve x_B=\frac{29-20\sqrt{2}}{13} et y_B=\frac{3(10\sqrt{2}-21)}{13}

Apparemment la figure ne s'affiche pas. Why ?

Posté par
Armenre : Octogone 30-03-14 à 23:02

Ah! Voici l'image
Octogone

Posté par
jtorresmre : Octogone 30-03-14 à 23:40

J'ai compris!! Merci!

C'est très astucieux!

je vais essayer demain (suis fatigué), et je posterai mes résultats.

Maintenant, avec les coordonées de B et M,on peut calculer le vecteur BM et faire sa rotation 45ºsept fois et obtenir les coordonnées des autres sommets, n-est-ce pas?

Johnny

Posté par
Armenre : Octogone 31-03-14 à 05:25

On peut calculer le coefficient directeur de la droite d' indépendamment des points I' et J'.

Désignons par \normalsize \vec{d} un vecteur directeur de la droite d, par \vec{d'} un vecteur directeur de d' et par \vec i le vecteur unitaire de l'axe des x.
Posons \theta =(\vec{i},\vec {d})et \theta '=(\vec{i},\vec {d'}). Le coefficient directeur de d est \tan{\theta}, celui de d' est \tan {\theta '}.
On sait que \tan{\theta}=-\frac{3}{2} et que (\vec{d},\vec{d'})=-\frac{\pi}{4}+k\pi.
On peut calculer \tan{\theta ' :

\tan{\theta '}=\tan{(\theta -\frac{\pi}{4})}=\frac{\tan{\theta}-\tan{\frac{\pi}{4}}}{1+\tan{\theta}\tan{\frac{\pi}{4}}}=\frac{-\frac{3}{2}-1}{1-\frac{3}{2}}=5.

On est donc sûr que d' a une équation réduite de la forme y=5x+b.

Reste à calculer b en utilisant un point, par exemple J'. Ce point J' a pour coordonnées (3-2\sqrt{2},-1) d'après mes calculs.

Posté par
Armenre : Octogone 31-03-14 à 05:30

Remarque aussi que connaissant B tu peux calculer les coordonnées du point F diamétralement opposé M=milieu (B,F).
Tu n'auras plus que 3 rotations à effectuer pour les autres points (tu les auras 2 par 2)

Posté par
jtorresmre : Octogone 31-03-14 à 05:45

Excellent! Merci infiniment!

Johnny

Posté par
Armenre : Octogone 31-03-14 à 11:37

Plutôt que les coordonnées il est peut-être plus facile de calculer les affixes. J'ai renommé les points S_0,S_1,S_2, etc en tournant dans le sens positif. Posons z_k=Aff(S_k).

Octogone

On a z_k-z_M=e^{i\frac{k\pi}{4}}(z_0-z_M) et, tous calculs faits, j'obtiens z_k=3-i-\frac{10}{13}e^{i\frac{k\pi}{4}}(1+2\sqrt{2}+i(5-3\sqrt{2}))

Posté par
jtorresmre : Octogone 31-03-14 à 23:47

Salut, encore!

Pour calculer les coordonnés des images I' et J' j'utilise les formules suivantes:

\begin{cases}x'=x\cos\,\theta+y\sin\,\theta\\y'=-x\sin\,\theta + y\cos\,\theta\end{cases}

ou (x;y) sont les coordonées du point original, et (x';y') celles de l'image, avec \theta, l'angle de rotation.

Johnny

Posté par
Armenre : Octogone 01-04-14 à 00:29

Ces formules concernent  une rotation de centre 0. Ici le centre est M.
J'ai trouvé plus simple de travailler avec les complexes :
z'-z_M=\mathrem{e}^{i\theta}(z-z_M)
est l'écriture complexe de la rotation de centre M et d'angle \theta

Posté par
jtorresmre : Octogone 02-04-14 à 23:12

Salut!

Je reviens encore sur ce problème, car on est censés le resoudre avec les outils de seconde..

Jai trouvé les formules générales de rotation d'un point autour d'un point:

Si C(x_c; y_c) est le centre de rotation, et P(x_p; y_p) est le point auquel on souhaite faire la rotation d'un angle \Theta, alors, le coordonnées du nouveau point Q(x_q; y_q) sont:
\\ x_q = (x_p-x_c)*cos(\Theta) + (y_p; y_c)*sin(\Theta) + x_c \\ \\ y_q =  (x_p-x_c)*sin(\Theta) - (y_p; y_c)*cos(\Theta) + y_c

Johnny

Posté par
Armenre : Octogone 02-04-14 à 23:21

Ces formules ne sont pas exactes.

Ce n'est pas un outil de seconde non plus !

Posté par
jtorresmre : Octogone 03-04-14 à 21:41

En effet, les formules correctes sont:

\\ \\ x_q = (x_p-x_c)*cos(\Theta) - (y_p- y_c)*sin(\Theta) + x_c \\ \\ \\ \\ y_q =  (x_p-x_c)*sin(\Theta) + (y_p- y_c)*cos(\Theta) + y_c

C'est que ce ne sont pas de formules de 2nde, mais le prof (c'est le lycée Louis Le Grand, de Paris), a utilisé d'autres méthodes (matrices, par exemple) qui ne sont pas dans le programme non plus.

Par contre, je vais explorer le chemin de calcul de tangentes, mais pour calculer le b de y = ax + b, il faut un point.

Johnny

Posté par
Armenre : Octogone 03-04-14 à 22:30

Ah! Si c'est LLG ! S'occupent pas beaucoup des programmes là-bas. Et dans mon for intérieur je pense qu'ils ont raison. Avec l'indigence des programmes actuels difficile de former des scientifiques...


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