La première chose à faire, quand on étudie une suite récurrente
est d'étudier la fonction
, tracer sa courbe représentative
, la droite
d'équation
, et étudier la position de
par rapport à
(voir le dessin plus loin).
Ici, on peut se contenter de faire l'étude sur
, puisque
est paire
Les réels
tels que
sont
et
(non, je ne résouds pas l'équation, vous savez lefaire). On obtient également que:
Premier cas:
On démontre facilement par récurrence que:
.
La suite
est donc croissante. Si elle était majorée, elle convergerait vers une limite
solution de l'équation
(puisque
est continue). Mais
devrait également vérifier
, ce qui est contradictoire.
Donc, la suite
est croissante et non majorée, ce qui entraîne qu'elle a pour limite
.
Deuxième cas:
Alors,
est constante, de limite
.
Troisième cas:
Alors, puisque l'image de
par
est égale à
, on en déduit par récurrence que
.
On remarque que sur cet intervalle
est majorée en valeur absolue par
. En appliquant l'inégalité des accroissements finis:
Donc:
On en déduit que
est de limite
.
Quatrième cas:
Comme l'image de l'intervalle
par
est incluse dans
, on en déduit par récurrence que
.
Supposons par l'absurde que
. Alors, comme
appartient à l'intervalle
, on a, pour tout
de
. La suite
serait décroissante minorée par
et elle convergerait.
étant continue, la limite de
serait donc une solution de l'équation
, strictement comprise entre
et
, ce qui n'est pas possible.
Donc, il existe un entier
tel que
. D'après l'étude du cas précédent,
est convergente, de limite
.