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Il y a je suppose une démonstration non analytique ? Car je n'ai pas le courage de me lancer dans de gros calculs.

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Cet exercice pourrait être donné en première S

Supposons que A, B, C et D ne soient pas coplanaires.

Supposons que le projeté orthogonal H de de A sur (BCD) soit également l'orthocentre du triangle BCD.

Soit K l'orthocentre du triangle ACD ; montrons que c'est aussi le projeté orthogonal de B sur (ACD).

Notons B' le projeté orthogonal de B sur (CD).

On a (AH)⊥(BCD) donc (AH)⊥(CD) et comme (CD)⊥(BH)=(BB'), on a (CD)⊥(ABB').

En particulier, (CD)⊥(AB') donc K(AB') et (CD)⊥(BK).

D'autre part (AH)⊥(BCD) donc (AH)⊥(BD) et comme (BD)⊥(CH), on a (BD)⊥(ACH) et en particulier (AC)⊥(BD). Comme (AC)⊥(DK), on en déduit que (AC)⊥(BDK) et donc que (BK)⊥(AC).

Finalement (BK)⊥(AC) et (BK)⊥(CD) donc (BK)⊥(ACD) et K est bien le projeté orthogonal de B sur (ACD).

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Ouf j'ai fini par trouvé !



En utilisant seulement des arguments d'orthogonalité on montre que (DH') est perpendiculaire à la droite (BC) et (DH') perpendiculaire à (AB) et donc au plan (ABC). [avec H' l'orthocentre de ABC]

Je détaille les calculs plus tard je dois me sauver !

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On montre que le projeté orthogonal de A sur (BCD) est l'orthocentre de (BCD) si et seulement si la condition suivante (E) est réalisée:




Supposons que le projeté orthogonal H de A sur (BCD) est l'orthocentre de (BCD). On a:

De la même manière:



Supposons que la condition (E) soit réalisée et notons H l'orthocentre de (BCD). On a:

On montre de la même manière que:

On en déduit que H est la projection orthogonale de A sur (BCD).


La condition (E) étant symétrique en A,B,C,D, on en déduit le résultat demandé par l'énoncé.