Bonsoir perroquet

 Cliquez pour afficher

Je fais ce que je sais faire ^^

oui, la loi est associative.

En effet, soient A,B et C

(AB)C = (A+B-AB)C
= A+B+C-AB-(A+B-AB)C
= A+B+C-AB-AC+ABC

De même, A(BC) = A( B+C-BC )
= A+B+C-BC-A(B+C-BC)
= A+B+C-BC-AB-AC+ABC



En revanche, elle n'est pas commutative.

Pour A et B , on a :

Puisque rien ne dit que ,

Citation :
Si   A+B=AB  , A et B commutent-elles ?

On aurait alors
ce qui ne change rien ..(bizarre je me suis sans doute trompé)

Pour l'élément neutre et les éléments inversibles, je cherche encore

guitou >

 Cliquez pour afficher

Que penses-tu de la matrice nulle ?

bonjour,

 Cliquez pour afficher

pour les éléments inversibles je trouve des cas particuliers mais rien de général
si A est nilpotente d'indice 2 A est inversible d'inverse -A pour *
si A est telle que A²=2A A est sa propre inverse pour *      (sauf étourderie de ma part)
je vais encore chercher

bonjour!

 Cliquez pour afficher

la loi est associative: A*(B*C)=A*(B+C-BC)=A+B+C-BC-AB-AC+ABC
(A*B)*C=(A+B-AB)*C=A+B-AB+C-AC-BC+ABC
et on voit bien que A*(B*C)=(A*B)*C
elle n'est pas commutative car on n'a pas toujours AB=BA
Si A+B=AB, on a A+B=B+A=BA d'où AB=BA alors A et B commutent (je n'en suis pas sûre)
pour les éléments inversibles et pour l'élément neutre, j'ai pas encore trouvé

rebonsoir,

 Cliquez pour afficher

au fait je trouve que l'élément neutre est la matrice nulle^^
A*B=B*A=A <=> A+B-AB=A <=> B-AB=0 ce qui donne B(I-A)=0
donc B est la matrice nulle

bonjour

 Cliquez pour afficher

A+B-AB= I-(A-I)(B-I)
donc (1) A+B-AB=0<=>(A-I)(B-I)=I (2)
     (2)<=>(A-I)est inversible d'inverse (B-I) pour la x habituelle des matrices  
on a donc
     (2)'(B-I)(A-I)=I soit (1)' B+A-BA=0
je trouve donc que A est inversible pour *<=>(A-I)inversible pour la x habituelle des matrices
(1)=>(1)' donc AB=BA   ?

Bonjour.

Dans le post de gui-tou, on trouve la réponse aux questions suivantes:
la loi est-elle associative? commutative ?

jolene (post du 14 mai, 19h14) nous donne l'élément neutre de la loi.

veleda (post du 16 mai, 6h54) caractérise les éléments inversibles pour la loi, et répond à la dernière question.

Ce qui fait que je n'ai pas de solution à écrire

bonjour perroquet
pour la dernière question il me semble qu'il n'est pas nécessaire d'avoir caractérisé les éléments inversibles
A est inversible et B est son inverse (à droite et à gauche)=>A*B=0=B*A soit A+B+A.B=B+A+B.A=>A.B=B.A

Bonjour, veleda

L'égalité   A+B=AB  entraîne que  A*B = 0  donc que A admet B pour inverse à droite pour la loi *.
A priori, cela n'entraîne pas obligatoirement que  A admet B pour inverse à gauche pour la loi *.
Donc, pour pouvoir affirmer que A admet B pour inverse à gauche pour la loi *, je pense qu'il faut utiliser le raisonnement suivant (utilisant la caractérisation des éléments inversibles à droite ou à gauche pour *):

Si A est inversible à droite pour *, alors, A-I est inversible pour la multiplication matricielle. De plus, B-I est l'inverse de A-I pour la multiplication matricielle. Mais ceci signifie alors que A admet pour inverse à gauche B.

qu'est ce que le texte  veut dire par élément inversible?si cela veut dire qu'il a un inverse à droite et un à gauche comme la loi est associative c'est le même
j'ai donné dans mon post du 16 mai la démonstration que tu redonnes mais aprés coup je me suis dit qu'inversible sans autre précision voulait  sans doute dire à droite et à gauche

ce que l'on a montré dans l'avant dernière question c'est que si A a un inverse à   droite alors A est inversible

Pour moi (et sans doute pour le texte), "x élément inversible" signifie : "il existe y tel que  x * y =y*x = e".
Il est exact que si la loi est associative  et si x admet un inverse à droite et un inverse à gauche, alors l'inverse à gauche de x et l'inverse à droite de x sont égaux, et x est inversible.
Cependant, il existe des cas où la loi est associative et où un élément est inversible à gauche sans être inversible à droite.

Il y a donc effectivement un petit piège dans la question posée: on ne peut pas se contenter d'affirmer que A est inversible à droite pour en déduire que A est inversible. Il fallait reprendre soigneusement la démonstration de la recherche des éléments inversibles pour pouvoir affirmer que l'existence d'un inverse à droite entraîne l'existence d'un inverse.

La démonstration que tu avais faite le 16 mai ne tombait dans le piège que j'ai évoqué ci-dessus. Je l'ai même donnée comme la solution de référence.

on est bien d'accord,je voulais dire que dans le cas de l'exercice si A est inversible  d'inverse B A*B=0=>B*A=0 donc A.B=B.A on peut donc en déduire que A et B commutent pour l'habituelle multiplication des matrices sans avoir caractérisé les éléments inversibles