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1) Je passe sur la démo du fait que ce soit un produit scalaire.

2) J'ai fait un raisonnement par analyse/synthèse pour donner la forme d'un élément de E. (je ne développe pas, pour laisser quelqu'un d'autre chercher). Il faut en fait surtout remarquer que si g est dans G, alors g" = g donc g = A.ch + B.sh

Pour Montrer que F et G sont orthogonaux, on forme le produit sclaire de 2 éléments de F et de G et on montre que c'est nul (o n fait apparaître une dérivée sous l'intégrale et on conclut grâce à f(0) = f(1) = 0 )

3) Pour E(a,b) :

E(a,b) est un sous espace affine de direction F. Ainsi comme F est orthogonal à G, E(a,b) est un sous espace orthogonal à G.

On doit donc trouver la distance du point O à l'ensemble E(a,b).

d²(O,H) = inf{||f-0||², f dans E(a,b)}

Cette distance au carré correspond à l'intersection entre G et H.

f(t) = C.ch(t) + D.sh(t)
f(0) = a
f(1) = b

D'où :

f(t) = a.ch(t) + (b-a.ch(1))sh(t)/sh(1)

Reste plus qu'a calculer (f|f). On trouve alors à la machine (avec e = exp(1)) :

m(a,b) = [(a.e-b)²+(b.e-a)²]/(e²-1)

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Cette distance au carré correspond à l'intersection entre G et E(a,b)

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L'application est évidemment bilinéaire symétrique (par linéarité de l'intégrale et commutativité de la multiplication dans ).
De plus, pour tout élément de , est continue positive non nulle, et son intégrale sur est donc strictement positive.



est l' ensemble des fonctions . Un élément de vérifie donc:        et     donc   donc  
On en déduit que

Par ailleurs, pour tout élément de , il existe et tels que:   .
On peut donc écrire: avec et .
On vérifie facilement que est dans et est dans



Soit un élément de et un élément de . En intégrant par parties, on a:
       sachant que  f(1)=f(0)=0  et g"=g
Donc:



Soit un élément de .
La projection orthogonale de sur est la projection sur de direction .
D'après les calculs précédents, c'est la fonction telle que   et



D'après ce qui précède, tout élément de peut s'écrire sous la forme   avec:
  et  

Pour tout élément de , on a donc:
avec égalité lorsque  
Il est facile de vérifier que: