Bonjour perroquet.

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En faisant varier a de -1000 à 1000, on "voit que" l'équation P(x)=0 n'admet que deux solutions réelles.

Posons et les deux solutions réelles distinctes de (e) : P(x)=0

Je pose où a est le même a sur lequel on cherche une condition.

Lorsque , on a

Or par la procédure

Citation :

>restart;with(plots):L:=[]:

>P:=x->15*x^4+5*x^3-a*x^2+3*x-5;

> for a from -500 to 500 by 1 do
    s:=fsolve(P(x)):
    e:=abs(evalf(s[1]+s[2])):
    L:=[op(L),[a,e]]:
od:

> plot(L);

La courbe représentative de f est :

Ce qui me laisse à penser que f n'admet pas de zéros ...

Il apparaît que :   (la limite de f en serait un beau problème en lui-même, non ?)

Donc il n'existe pas de a tel que P admette deux racines opposées

Je pense donc m'être trompé, mais je ne vois pas où.

NB: Dans l'officiel de la Taupe n°14, l'énoncé est :

Citation :
Avec Maple : soit . Trouver a tel que P ait une racine triple et donner ses racines.

...

Avec un peu de recul ... j'ai dit n'importe quoi

gui_tou me fait remarquer (à juste titre) que je me suis trompé sur le numéro de la planche. Il s'agit de la planche 187b (et non de la planche 188b, comme je l'ai écrit par erreur).

Ce qui suit est une réponse à gui_tou

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Les deux racines opposées de P ne sont pas obligatoirement réelles, elles peuvent être complexes. Donc, il n'y a pas de faute dans l'énoncé.
Enfin, a n'est pas obligatoirement entier.


Ceci dit, ce serait un défi intéressant que de montrer que, lorsque a est réel, P admet toujours 2 racines réelles et de déterminer la limite de la somme de ces deux racines. Je vais y réfléchir.

Bonjour perroquet et gui_tou,

L'exercice initial se résout très rapidement à la main (je ne vois pas bien l'intérêt de Maple ici):

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P a 2 racines opposées ssi on peut factoriser x²+b d'où P(x)=15x⁴+5x³-ax²+3x-5=(x²+b)(15x²+5x+c) donc b=3/5 (coefficient de x), c=-25/3 (terme constant) et a=-2/3 (coeff de x²).
Les racines s'en déduisent aisément.

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P(x)=0 s'écrit g(x)=a avec qui s'étudie facilement: le numérateur de g'(x) est strictement positif (pas de racine réelle avec Maple) donc g réalise une bijection de sur R et de sur R.
P a donc bien une racine négative x₁ et une positive x₂.
Comme au voisinage de l'infini on a g(x)=15x²+5x+o(1/x) on déduit que x₁ et x₂ sont très proches des racines de 15x²+5x=a quand a tend vers donc la limite de x₁+x₂ est égale à -1/3.
Quand a tend vers il est immédiat que x₁ et x₂ tendent vers 0.

Le message précédent de jandri montre que l'exercice se résout très facilement à la main (et ce n'est pas "fastidieux", comme je l'avais écrit).
jandri  donne également un "complément", suggéré par gui_tou.

Je donne (en blanké) une manière de résoudre l'exercice avec Maple.

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Puisque p admet deux solutions opposées, il est divisible par un polynôme  x^2-b. Je demande à Maple de calculer le reste dans la division de p par un polynôme x^2-b qui est un polynôme de degré inférieur ou égal à 1. Puisque x^2-b divise p, les coefficients de ce reste doivent être nuls, je demande à Maple de résoudre le système associé, ce qui permet de touver a et b. La fin est facile à comprendre.

> p:=15*x^4+5*x^3-a*x^2+3*x-5:
> rem(p,x^2-b,x,'q');

                                                
                  

> solve({3+5*b=0,-5-b*a+15*b^2=0});

                         {a = -2/3, b = -3/5}

> a:= -2/3:
> solve(p=0);
Pas trop envie ici de recopier l'affichage Maple, qui ne passe pas bien
            

bonjour,

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en effet en utilisant  les relations entre les racines et les coefficients j'avais trés facilement trouvé que le produit des racines opposées est -3/5,ensuite je divise par (x²+3/5)
mais c'est moins astucieux que la methode de Jarny

veleda >

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Tu confonds jandri avec là où j'habite

!

infophile>

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je ne comprends rien à ce que tu racontes
je viens de remonter j'ai compris mais je ne savais pas que tu habitais cette localité et puis jandri,jarny ça rime