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J'ai pensé utiliser la fonction qui est décroissante sur .

J'ai montré que pour pouvoir utiliser la monotonie des suites extraites et mais qui dépendent de c du coup...

Mauvaise idée ?

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Je vois à-peu-près comment ça marche

1) On représente y=2-x^2 et y=x sur le même graphique.
On fait apparaître graphiquement les cn. On constate que quel que soit le choix de c<4, il y aura un  cn>0

2) Une incertitude sur l'énoncé: cas où le discriminant est positif et qu'il y a deux racines négatives. En écartant ce cas, on peut utiliser 1) . Je pense qu'on trouve PnQn=Pn+1 .
Si P est à coeff positifs, c'est terminé.
Sinon je le  multiplie par son associé, qui est à coeff positifs et je trouve P1 (ou Q1?) et je réitère jusqu'à trouver un polynôme à coeff positifs.

3) Je factorise P et j'applique 2) à chaque facteur irréductible du 2° degré; les facteurs en (x+a)^m avec a positif sont à coeff positifs; les facteurs en (x-a)^m avec a positifs ont un m pair. Ce sont donc des  puissances de (x-a)^2, auquel on peut appliquer 2)

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Il faut utiliser la fonction f, en effet.
Mais il ne suffit pas d'étudier cette fonction sur R+.
Etudier le signe de u_3-u_1 ne me parait pas une bonne idée.

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Ce sont effectivement les bonnes idées
2) Le cas où il y a deux racines négatives est le cas le plus facile
3) Les seuls facteurs (x-a)^m, avec a positif sont les facteurs  x^m

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Compte tenu des précisions que tu apportes, puis-je considérer que j'ai terminé, ou manque-t-il encore un gros morceau?

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Je pense que tout a été trouvé

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Première question
Premier cas:  . Alors,

Deuxième cas:   .   Alors,   .

On a:

On en déduit, par récurrence sur n, que:  

Supposons par l'absurde que  

On a alors, pour tout  

La suite      serait alors une suite croissante, majorée  par 0. Elle convergerait donc vers une limite l appartenant à [c_1,0].Puisque  , la limite  l de (c_n) vérifierait l'équation  l=2-l². l serait donc égal à -2 ou 1, ce qui entraîne une contradiction.




Deuxième question

Soit  

Dans le cas où ce polynôme admet une ou des racines réelles, ces deux racines sont négatives ou nulles et il est alors facile de démontrer que les coefficients de P sont positifs ou nuls.

On étudie donc le cas où ce polynôme P n'admet pas de racine réelle (et donc le discriminant de P est strictement négatif).

.  On en déduit que     et que   . D'après la question précédente, il existe N tel que . On choisit N minimal et on a donc,
pour tout n<N, c_n<0

Lorsque N est strictement positif , on a, pour tout  :



Et, en posant   , on a:  

On a donc, pour  

Les polynômes P_N et     sont à coefficients positifs et P_0=P s'écrit donc comme le quotient de deux polynômes à coefficients positifs.

Lorsque N est égal à 0 ou lorque les racines de P sont réelles , P_0=P s'écrit comme le quotient de P et 1, polynômes à coefficients positifs.

Troisième question

Soit maintenant   .

Dans la décomposition de P en facteurs irréductibles, il n'apparaît que des facteurs P_i n'ayant pas de racine réelle strictement positive. Ce sont des polynômes de la forme    X+a, avec a positif   ou de la forme   tels que  .

Chacun des polynômes P_i s'écrit comme le quotient de polynômes  ,  Q_i et R_i étant à coefficients positifs. On en déduit que P s'écrit sous la forme     avec     et   , Q et R étant à coefficients positifs.