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doivent être distincts 2 à 2

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(X-1)(X+1)+1 = XX n'est pas vraiment irréductible.
La réponse est donc non.

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Le cas n = 1 étant évident, on peut supposer n 2.
Je ne démontre pas ce qui est demandé

Je démontre qu'avec b dans , .
1er cas b = a_k
Le produit est nul donc distinct de 1 .
2nd cas b distinct des a_k
Les b-a_k étant distincts, il y a dans le produit au plus un facteur égal à 1 et au plus un facteur égal à -1 ; les autres facteurs ont une valeur absolue supérieure stricte à 1 .
S'il y a un des facteurs avec |b-a_k| > 1 alors ; donc .
S'il n'y en a pas, comme n 2 , il y a un facteur égal à 1 et l'autre égal à -1 . Leur produit n'est pas égal à 1 .

Reste à éliminer la possibilité d'un facteur de degré 2 ...

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OK pour la deuxième question.
Après avoir lu ta réponse, je me suis demandé si on pouvait caractériser les polynômes qui sont de la forme qui ne sont pas irréductibles. Et j'ai trouvé quelque chose ...

Pour la première question, tu montres clairement que   ne peut pas avoir de facteur de degré 1 pour n supérieur ou égal à 2. Ce qui permet de montrer le résultat demandé par l'énoncé lorsque n est inférieur ou égal à 3. Par contre, je ne vois pas comment on pourrait généraliser l'idée pour des facteurs de degré supérieur ou égal à 2.

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On précise d'abord que les entiers doivent être distincts 2 à 2.
Sinon, par exemple,   n'est pas irréductible dans .

L'examinateur a-t-il volontairement mis une faute d'énoncé ? C'est possible, mais il est tout aussi probable qu'il y ait eu une erreur de transcription.


On supposera désormais que les entiers sont distincts 2 à 2 et on ne le rappellera pas.


Première question:
Notons  .

Supposons par l'absurde  que , avec et dans ,   et étant de degré supérieur ou égal à 1.

On a alors, pour  :    

On en déduit que, pour   :  

Le polynôme est de degré strictement inférieur à et admet au moins racines distinctes 2 à 2,   . On en déduit que est le polynôme nul et donc que . Et ce résultat est contradictoire avec le fait que le coefficient dominant de est égal à 1.

Donc, est irréductible dans

Deuxième question:

Donnons un contre-exemple:         n'est pas irréductible dans .

Allons plus loin et déterminons les polynômes   qui sont réductibles dans  .

Supposons que  est réductible dans .
Alors  , avec et dans ,   et étant de degré supérieur ou égal à 1.

On a alors, pour  :    

On en déduit que, pour   :  

Le polynôme est de degré strictement inférieur à et admet au moins racines distinctes 2 à 2,   . On en déduit que est le polynôme nul et donc que .

Donc,                 (E)
On peut supposer que est le plus petit des entiers .
On pose pour :      et    .
L'égalité (E) peut s'écrire    
Il existe deux parties et   de telles que   et  
Remarquons que   et donc que  

Premier cas:   1 appartient à
Alors  
La seule possibilité est que soit de cardinal 2 et que  
Par suite  

Deuxième cas:   1 appartient à
Alors  
La seule possibilité est que soit de cardinal 1 et que  
Par suite  


Conclusion:  les seuls polynômes     qui sont réductibles dans   sont les polynômes      et    

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Il fallait penser à utiliser la résolution de xy = - 1 dans . Et exploiter P = -Q²

Pour aller plus loin dans la seconde question, le départ est similaire avec xy = 1 et P = Q² .
Mais la suite est un peu plus compliquée...

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Le départ est le même jusque .
P est donc de degré pair ; n est donc pair.

De plus, P(x) 0 pour tout x réel :

On peut ordonner les a_i : a₁ < a₂ < .... < a_n .

Avec x = a₁+1/2 , on a

On a donc

Or a₂-x 1/2 , et s'ils existent a₃-x 3/2 , a₄-x 5/2 , a₅-x 7/2 , a₆-x 9/2 .

donc n 4 . Comme n est pair, n=2 ou n=4 .

De plus, ; donc, si n = 4 , a₄-x = 5/2 et les a_i sont des entiers consécutifs.

Si n = 2 , le polynôme Q(X) est de degré 1 et de terme dominant de coefficient 1 ; donc Q(X) = X-b .
D'où P(X) = (X-b)² - 1 = (X-b-1)(X-b+1) .