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On rappelle tout d'abord qu'un polynôme trigonométrique est une expression de la forme où
Un polynôme trigonométrique admet donc une plus petite période, inférieure ou égale à .
On étudie désormais le problème sur .

On rappelle également que l'ensemble est une base algébrique de l'ensemble des polynômes trigonométriques définis sur . (Et accessoirement, à une normalisation près, une base hilbertienne de )

Il s'ensuit qu'un polynôme trigonométrique de la forme définie ci-dessus est nul si et seulement si chacun de ses coefficients est nul.

On montre également que la famille est une famille libre dans l'espace vectoriel des fonctions continues sur (on note que est une sous-famille de )

Toute la difficulté du problème vient de ce que la famille n'est pas libre.
Mais s'il existe tels que : il suffit de dériver et conclure avec la famille avec (*)

Soient alors et deux polynômes trigonométriques sur dont on suppose que

On peut supposer, quitte à ce que quelques coefficients soient nuls, que

Les rappels effectués sur les familles libres ci-dessus vont permettre de conclure. Il vient :



On déduit alors de (*) qu'il faut que



Il est maintenant suffisant que qui est le déterminant nul d'une matrice et on déduit que le coefficient de proportionnalité entre les colonne de cette matrice est .

_{Je continuerai plus tard ... fatigue}

Prenons un exemple avec



Il me semble que la forme de ces deux polynômes est la seule à répondre à la question.

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Premier point :
La famille n'est pas une famille libre.
Je pense qu'il faudra linéariser l'expression

Deuxième point :
Il me semble que tu oublies des termes dans l'expression de

Troisième point :
L'intuition que tu as du résultat final est correcte.  

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J'ai cherché des solutions à base de Base de Hilbert et d'orthogonalité, de Fourrier (un polynôme trigonométrique est égal à sa série de Fourrier), de produit scalaire, d'égalité de Parseval ... cul de sac ! _{(ou alors j'ai mal cherché, ce qui est loin d'être improbable)}
Tu as raison, il faut faire une linéarisation; j'ai fait un gros calcul, mais je me perds dans les indices.
Je vais sagement attendre le corrigé ... et comparer avec ma version