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1) E étant un endomorphisme symétrique, il est diagonalisable dans une base orthonormale. Soit une telle base telle que soit associé à la valeur propre , lesquelles seront supposées rangées en ordre décroissant.

Si sont strictement positives et , on peut écrire pour tout :

avec décomposition unique. Il vient : et là deux choses, avec :

est non nul puisque les sous la somme sont toutes non nulles, qu'au moins un est non nul et que la famille extraite de la base est une base de l'espace qu'elle engendre; cet espace n'est alors rien d'autre qu'une partie de .

est nul puisque les .
Comme la famille extraite de la base est également une base de l'espace qu'elle engendre, cet espace n'est alors rien d'autre qu'une partie .

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2) On se place dans la base où a une expression diagonale. Sa matrice est alors .
On pose h l'endomorphisme tel que dans cette base, .
Cette opération est possible puisque les sont positifs.
On a clairement d'où .
Il suffit alors de revenir à la base d'origine au besoin.

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3) Tout d'abord, notons que si alors .
En effet, soit , alors

Revenons à et   (que l'on suppose tous les deux non nuls, faute de quoi le résultat est trivial)

De on écrit
De on écrit

Il vient alors :

ce qui prouve que

puisqu'on a vu que

Si donc alors et

puisqu'on a vu que

Si donc alors et

Ces deux derniers points montrent que si alors

On a donc montré que

Comme il est trivial que on en conclut que

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OK pour tout, sauf pour  Im(f+g).
Je pense que tu as seulement montré que  Im(f+g) est inclus dans   Im(f)+Im(g).