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Je me contente d'un dessin pour la première question:

  

Pour la seconde, je peux me tromper mais:

  -Si est un demi-tour (on disait une transposition à une autre époque), toute symétrie par rapport à un plan contenant l'axe de la rotation est telle que

  Et en ce sens la réciproque est fausse.

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Très joli dessin pour la première question  

Pour la deuxième question: r et s commutent lorsque
- l'axe D est orthogonal à P
- l'axe D est inclus dans P et r est un demi-tour
Y a-t-il d'autres possibilités ?

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   Je ne pensais qu'il y en avait d'autres, mais si tu poses la question...
   Je vais encore réfléchir...

Je pense aussi qu'il doit y avoir moyen de traiter cet exercice par l'algèbre (peut-être en dimension quelconque). Mais hélas, je suis devenu incompétent.

Merci pour cette planche

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Je n'ai pas trouvé d'autres possibilités; j'ai tenu un raisonnement alambiqué qui ne me satisfait guère. J'ai hésité à le poster, mais faute de mieux:

  Soit le plan associé à et l'axe de .

  Si et commutent:

  

d'où deux possibilités: ou bien ou bien avec

1)

  Encore une fois deux possibilités:

   a) ; on a bien

     C'est le cas de figure de la première question.

   b) et est nécessairement un demi-tour.

     On vérifie que dans ce cas .

2) avec

    

  d' où deux possibilités: ou bien ou bien avec et sécantes, et demi-tour.

   a)

      Soit incompatible avec

      Soit d' où et nécessairement un quart de tour.
      On peut vérifier dans ce cas que

  b) avec et demi-tour.

      Pour que , il faut que soit un plan perpendiculaire au plan et parallèle à un de leurs deux plans bissecteurs.
      Dans ce cas,

En résumé, il semblerait que les seuls cas où et commutent se limitent à:
  
   -

   - et demi-tour.

A vrai dire, en me relisant, je ne suis plus sûr de rien...

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Que veut dire "Etudier la réciproque" ?
Si c'est démontrer qu'elle est vraie ou fausse, c'est facile.
Si c'est chercher quand r o s = s o r , c'est moins évident...

Si r o s = s o r avec s symétrie orthogonale par rapport au plan P (on disait une réflexion à une autre époque ) .
On a pour tout M du plan P r o s(M) = s o r(M) ; donc r(M) = s (r(M)) .
On a r(M) invariant par s ; donc r(M) est dans P .
Le plan P est globalement invariant par r .
Après, c'est le 1) de lake.

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En deux temps trois mouvements, tu as éliminé mon 2) (qui m'empoisonnait l'existence)

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"En deux temps trois mouvements" : pas vraiment...
J'ai commencé par chercher avec des figures, une droite D ni parallèle ni perpendiculaire au plan P , des projetés orthogonaux, des distances plus courtes.
J'ai fini par écrire s o r (H) r(H) si r(H) P . C'est là que ça s'est décoincé