Niveau exercices

Officiel de la Taupe 21

Posté par
perroquet 08-04-08 à 21:36

On commence par une planche de l'Ecole Polytechnique, pas trop difficile.

Enoncé

Citation :

Soient $a \in {\mathbb R}_{+}^{\star}$   et   $f: [a,+\infty[ \rightarrow {\mathbb R}_{+}$ telle que

$3$ \forall (x,y) \in [a,+\infty[^2 \quad f(x+y)\leq f(x)+f(y)$             et         $3$ \forall x_0\in [a,+\infty[ \quad \exists M_0 \in {\mathbb R} \quad \forall x \in [a,x_0] \quad f(x)\leq M_0$

Montrer que     $3$ \ell =\inf \frac{f(x)}{x}$   existe et que   $3$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}=\ell$

Posté par re : Officiel de la Taupe 21 08-04-08 à 21:44

Salut perroquet

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Posté par re : Officiel de la Taupe 21 08-04-08 à 21:50

Tu as raison, tealc, j'ai fait une erreur

Il faut démontrer que:

Citation :

$3$ \ell =\inf \frac{f(x)}{x}$ existe et $3$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=\ell$

Un modérateur peut-il arranger cela ? Merci.

Posté par re : Officiel de la Taupe 21 08-04-08 à 21:55

Pas de soucis, je me disais aussi ^^

Posté par re : Officiel de la Taupe 21 09-04-08 à 08:31

Bonjour,

On a pour tout xa, $\frac{f(x)}{x} \geq 0$ donc $l=\inf \frac{f(x)}{x}$ existe bien.

Soit >0. Il existe ba tel que : $l \leq \frac{f(b)}{b} \leq l + \frac{\epsilon}{2}$ .

Soit xb ; On a $x=E \left( \frac{x}{b} \right)b+r$ avec $r \in [0,b[$ ,

d'où $x=\left( E \left( \frac{x}{b} \right)-1 \right) b+r'$ avec $r' \in [b,2b[$ .

On obtient alors $f(x) \leq \left( E \left( \frac{x}{b} \right)-1 \right) f(b)+f(r')$ ,

donc $f(x) \leq \frac{x}{b} f(b)+M_0$ avec $M_0=\sup_{[a;2b]}f$ ,

puis $\frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(b)}{b}+ \frac{M_0}{x}$ .

Pour xb' (b) assez grand, on a $\frac{M_0}{x}<\frac{\epsilon}{2}$ d'où $l \leq \frac{f(x)}{x} \leq l+\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$ .